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Michael H.
Gast
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 Michael H. Verfasst am: 03. Apr 2013 18:24 Titel: "Kreiselzeit" |
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Ich habe eine kleine Frage
Wie berechne ich die Zeitspanne die sich ein Kreisel dreht von dem Zeitpunkt an
wo man ihn "losläst" bis hin zum Stillstand.
Ich wieß was ich da für brauche weiß aber nicht wie ich es richtig gebrauche
ich brauche:
Energei des Kreisels, Rotationsenergie über den Drehimpuls : E = w^2*L/2
Reibungskräfe (Rollwiderstand einer Kugel) die ihn langsam abbremsen (der Kreisel dreht sich auf der Stelle)
Rollwiderstand einer Kugel: F = ? |
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w.bars
Anmeldungsdatum: 24.07.2006
Beiträge: 202
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| w.bars Verfasst am: 04. Apr 2013 07:41 Titel: |
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Hallo,
zunächst einmal enthält die Rotationsenergie das Trägheitsmoment J, nicht den Drehimpuls L.
Im Prinzip musst du nun Annahmen über die Reibung machen. Tatsächlich hängt die Reibung vermutlich davon ab, wie sich der Kreisel dreht. Willst du mit der Rechnung eine Vorhersage machen, so wirst du vermutlich an der Unkenntnis des Reibungskoeffizienten scheitern (Rollreibung its es ja nicht ganz -- der Kreisel rollt ja nicht, sondern dreht sich...). Willst du eine Formel, so könntest du z.B. annehmen, dass die Reibungskraft konstant und gleich Auflagekraft mal Reibungskoeffizient ist. Dann ist die Gesamtenergie, die natürlich gleich ist der kinetischen, die du dem Kreisel von Anfang an gibst, am Ende gänzlich in Reibungsarbeit übergegangen (plus evtl. aus der Schwerpunktserniedrigung gewonnenen Energie). Diese ist dann Kraft mal Weg, wobei ich jetzt einfach behaupte, dass der Weg in etwa gleich Zahl der Umdrehungen mal den Radius der tatsächlich aufliegenden Fläche ist (den man auch nicht so genau kennt, und der leider auch vom Unbtergrund abhängen wird). Evtl. bis auf einen numerischen Faktor, den wir in den eh unbekannten Reibungskoeffizienten reinziehen können.
Damit kann man formal nach der Zahl der Umdrehungen auflösen.
Nimmt man andere Reibungen an (Geschwindigkeitsabhängig, Geschwindigkeitsquadratabhängig), so muss man wohl die zugehörige Differentialgleichung lösen und wird sich nicht mit derlei einfachen Energiebetrachtungen aus der Schlinge heraqusziehen 
Eins bleibt -- der a priori unbekannte Wert des Reibungskoeffizienten.
Gruß!
w.bars |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 04. Apr 2013 08:45 Titel: |
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Ich würde den Auflagepunkt durch eine Auflagefläche ersetzen und den Reibungswiderstand wie bei einer linearen Bewegung ansetzen. Unterschied wäre jedoch, dass statt einer Reibungskraft ~v (ggf. auch v-unabhängig, ~v^2, ...) ein Integral über die Fläche wg. v = v(r) anzusetzen wäre.
Für die Rotationsenergie ist dann E = Iw^2 / 2 anzusetzen. I (Trägheitsmoment) bleibt konstant, Winkelgeschwindigkeit nimmt ab.
Ich erwarte eine exponentielle Dämpfung wie beim harmonischen Oszillator mit Reibung. Dabei vernachlässigt man jedoch Effekte wie Präzession, Umkippen vor Stillstand usw.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 04. Apr 2013 10:10, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Michael H.
Gast
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| Michael H. Verfasst am: 04. Apr 2013 08:58 Titel: |
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erst mal zu: w.bars
die Antwort von: TomS
muss ich noch "bearbeiten"
Rotationsenergie über den Drehimpuls
stamt aus
wikipedia.org/wiki/Rotationsenergie
- Die Rotationsenergie kann man durch den Drehimpuls \vec{L} ausdrücken.
ich wollte bei der Berechnung der "Drehdauer" erstmal nur den einfachsten Fall annehmen, sonst wird es doch mit der Zeit recht kompliziert.
Auflagekraft mal Reibungskoeffizient
Masse * Erdbeschleunigung * Reibungskoeffizient
Reibungskoeffizient ( Rollwiderstandskoeffizienten )
wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand
Eisenbahnrad auf Schiene : 0,002
-> (plus evtl. aus der Schwerpunktserniedrigung gewonnenen Energie). ??
Kraft mal Weg = Zahl der Umdrehungen mal den Radius
Energieabnahme = Rotationsenergie - Zahl der Umdrehungen mal den Radius
Energieabnahme umstellen nach den Umdrehungen
dann wäre die Zeit = 1/ Umdrehungen
mit Differential- und Intergrallgleichung kenne ich mich ein bischen aus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 04. Apr 2013 09:03 Titel: |
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Du kannst aber für deine Fragestellung sinnvollerweise E nicht durch L ausdrücken, da L nicht erhalten ist!
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Michael H.
Gast
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| Michael H. Verfasst am: 04. Apr 2013 09:11 Titel: |
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Integral über die Fläche = Integral über die "Auflagefläche" ?
linearen Bewegung ansetzen = Drehzahl * Umfang der "Auflagefläche"
das mit dem harmonischen Oszillator kommt mir sehr bekannt vor:
Eine Schwinung die über einen Dämfungsfaktor langsam abklingt.
der einfachhalt halber ohne Effekte wie Präzession, Umkippen vor Stillstand, der Kreisel bleibt einfach stehen, es soll ja nicht "ausarten" mit den berechnungen
man könnte es mit der Zeit dann komplizeierter machen, könnte vieleicht.
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- Die Rotationsenergie kann man durch...
habe ich so einfach herauskopert daher \vec{L} |
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w.bars
Anmeldungsdatum: 24.07.2006
Beiträge: 202
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| w.bars Verfasst am: 04. Apr 2013 09:11 Titel: |
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Hallo,
wenn mit Drehimpuls, dann aber ohne das Quadrat über dem omega 
In fomreln: ( der bewusste Koeffizient,  der Radius der Auflagefläche (ungefähr) )
wobei  Zahl der Umdrehungen.
Die Erniedrigung des Schwerpunkts ergibt sich vielleicht dadurch, dass der Kreisel bei niedrigeren Freuqenzen anders dreht, und sein Schwerpunkt evtl. tiefer ist. Wenn du keinerlei solche Effekte beachten möchtest, lass den Term weg.
w.bars |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 04. Apr 2013 09:26 Titel: |
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@Michael: wie gesagt, L ist nicht erhalten, deshalb eignet sich der Ansatz nicht; benutze
Ersetze die Reibungskraft
durch
 = 2\pi \int_0^R dr \, r\,\rho\omega\,r = 2\pi\,\rho\omega\int_0^R dr r^2)
Wichtig ist nur, dass die Reibungskraft, die zu einem Verlust der Energie führt, proportional zur Winkelgeschwindigkeit ist.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 04. Apr 2013 10:03, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Michael H.
Gast
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| Michael H. Verfasst am: 04. Apr 2013 09:27 Titel: |
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Drehimpuls = Masse * Geschwindigkeit * Radius
omega = 2 * pi * Drehzahl
die höhe des Schwerpunkt müsste man erstmal berechnen.
die berechnung zu einem Rotationssymmetrischen Körper (eine Drehender Kreisel)
müsste ich noch irgend wo haben (dauert aber ein bischen), da ist auch die Schwerpunkt berechnung mit bei |
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w.bars
Anmeldungsdatum: 24.07.2006
Beiträge: 202
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| w.bars Verfasst am: 04. Apr 2013 09:49 Titel: |
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zu TomS: eine Kraft hat nicht die Dimension einer Dichte mal Geschwindigkeit, und auch nicht die einer Fläche mal Dichte mal Geschwindigkeit
Ansonsten: wenn dich die Lage deines Schwerpunkts nicht <ändert>, brauchst du auch nicht suchen zu gehen, wie man den berechnet...
w.bars |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 04. Apr 2013 10:08 Titel: |
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| w.bars hat Folgendes geschrieben: | zu TomS: eine Kraft hat nicht die Dimension einer Dichte mal Geschwindigkeit, und auch nicht die einer Fläche mal Dichte mal Geschwindigkeit ;)
Ansonsten: wenn dich die Lage deines Schwerpunkts nicht <ändert>, brauchst du auch nicht suchen zu gehen, wie man den berechnet...
w.bars |
rho ist keine Dichte, sondern der Reibungskoeffizient bzw. "Flächendichte des Reibungkoeffizienten" im Integral. Übrigens (habe das gerade nachgeschaut) bezeichnet man das wohl üblicherweise als Bohrreibung. Diese ist wohl wiederum (in guter Näherung) geschwindigkeitsunabhängig, daher wird der o.g. Ansatz nicht benötigt.
Es geht auch zunächst gar nicht um der Veränderung des Schwerpunktes, sondern um die Frage, wie denn der Kreisel angebremst wird, also um die Winkelgeschwindigkeit; und dazu kann man natürlich zuerst mal das (vereinfachte) Modell eines aufrechtstehenden Kreisels mit geschwindigkeitsabhängiger Reibung betrachten.
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w.bars
Anmeldungsdatum: 24.07.2006
Beiträge: 202
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| w.bars Verfasst am: 04. Apr 2013 10:17 Titel: |
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Das rho ist dann aber nicht beidesmal das gleiche, denn unten wird es mit der Fläche multipliziert und gibt aber wieder eine Kraft
Meiner Erfahrung nach passt gerade bei geringen Geschwindigkeiten eine geschwindigkeitsabhängige Reibung immer schlechter; deswegen schlug ich anfangs die konstante Reibung vor.
An den Fragesteller: wie gedenkst du, die völlig unbekannten Größen des Reibungskoeffizienten (wie ich schon sagte, Rollreibng ist das nicht, und Stahlrad auf Stahlschiene noch weniger), und noch viel schlimmer -- des Auflageradius (rho in meinen Formeln, R in denen von TomS) zu bestimmen? Oder ist das Aufstellen (irgend)einer Formel schon Ergebnis genug?
w.bars |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 04. Apr 2013 10:31 Titel: |
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| w.bars hat Folgendes geschrieben: | | Das rho ist dann aber nicht beidesmal das gleiche, denn unten wird es mit der Fläche multipliziert und gibt aber wieder eine Kraft ;) |
Stimmt, werde das korrigieren.
| w.bars hat Folgendes geschrieben: | | Meiner Erfahrung nach passt gerade bei geringen Geschwindigkeiten eine geschwindigkeitsabhängige Reibung immer schlechter; deswegen schlug ich anfangs die konstante Reibung vor. |
Stimmt auch, sie folgender Text.
Der o.g. Ansatz zur geschwindigkeitsabhängigen Reibung ist wohl unnötig. Man benötigt lediglich die durch Reibung verminderte kinetische Energie. Üblicherweise ist das bei konstanter Auflagekraft F und zurückgelegter Strecke d
 = \int_0^d dx\,\rho\,F = \rho\,F\,d)
In unserem Fall wird diese Proportionalität wiederum gültig sein, allerdings ändert sich der Koeffizient, denn man muss stattdessen ein zweidimensionales Integral betrachten. Und ist die Tatsache, dass die Punkte auf einer Kreisscheibe als Auflagefläche unterschiedliche Strecken zurücklegen. Damit gilt
 = \int_{\Delta \phi} d^2s\,\rho^\prime\,F)
Ich habe jetzt rho' für den auf die Fläche bezogenen Reibungskoeffizienten angesetzt. rho' ist so zu skalieren, dass bei linearer Bewegung das o.g. Ergebnis mit rho reproduziert wird. Im betrachteten Fall handelt es sich jedoch um eine Drehbewegung, daher stammt die Abhängigkeit von Drehwinkel phi. Es ergibt sich eine Proportionalität des Energieverlustes zu Delta phi (anstelle d bei linearer Bewegung).
Damit kann man nun wieder eine DGL wie für die lineare Bewegung mit Reibung aufstellen. Anstelle der Variablen r und v benutzt man phi und omega, alles andere sollte identisch sein. Die Abbremsung wird wie im Falle der linearen Bewegung erfolgen, lediglich die numerischen Koeffizienten sind unterschiedlich.
Also folgender Ansatz: DGL zum Energieverlustes (der Rotationsengie) in Form von Reibung aufstellen. DGL für omega als Funktion von t lösen. Den jeweiligen Reibungskoeffizienten in einer Tabelle nachschlagen.
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Michael H.
Gast
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| Michael H. Verfasst am: 04. Apr 2013 13:04 Titel: |
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da ist man mal kurz weg und ... dann sind einem manche Sache die geschrieben worden sind nicht so richtig begreiflig
ist ein bischen "ausgeartet"
04. Apr 2013 11:31
zweidimensionales Integral,
da komme ich nicht mehr mit
Den jeweiligen Reibungskoeffizienten in einer Tabelle nachschlagen.
das wird kompliziert, da ja der Rollwiderstandskoeffizient (wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand)
- Rollwiderstandskoeffizient
Durch die Verformung beim Abrollen wird die Kontaktkraft zwischen Körper und Unterlage asymmetrisch...
die von Materialeigenschaften und Geometrie des abrollenden Körpers abhängt ...
es sollte doch eigentlich "einfach beiben"
04. Apr 2013 10:26
Wichtig ist nur, dass die Reibungskraft, die zu einem Verlust der Energie führt, proportional zur Winkelgeschwindigkeit ist.
Ersetze die Reibungskraft
durch
wäre dann
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_\text{"Rest"} = 2\pi\,\rho\omega\ r^3/3 - \rho v)
nur noch ![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_\text{"Rest"})
mit der zurückgelegten Strecke (Umfang der Auflegefläche) multiplizieren
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E_\text{Brems.} = F_\text{"Rest"} \ 2 r_\text{Auflegefläche}\ pi\ )
Restenergie = Rotationsenergie - "Bremsenergie"
Restenergie nach der Zeit auflösen |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 04. Apr 2013 21:18 Titel: |
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Ich skizziere meine Idee nochmal ganz kurz.
Für die kinetische Energie gilt
Diese nimmt über die Zeit aufgrund der Reibung, d.h. abnehmender Winkelgeschwindigkeit ab:
Die Reibungsenergie bei linearer Bewegung über eine Strecke x (mit geschwindigkeitsunabhängiger Reibungskraft) beträgt
Im Falle einer rotierenden Kreisscheibe setze ich
wobei der neue Reibungskoeffizient (gekennzeichnet durch '') die selbe Dimension wie der alte hat. Dazu führe ich die einzige in unserem Problem relevante Längenskala ein, nämlich den Kreisradius R. M.E. müssen rho und rho'' über einen einfachen geometrischen Zusammenhang verknüpft sein, das wollte ich durch die o.g. Integrale motivieren. Alternativ kann man auch andere Konstanten, ggf. die sog. Bohrreibung verwenden, aber das musst du in Tabellen nachschauen.
Für die Änderung der in die Reibung fließende Energie setze ich
Insgs. ist die Energie erhalten, d.h.
 \stackrel{!}{=} 0 = \dot{E}_k + \dot{E}_r = I\omega\dot{\omega} + \rho^{\prime\prime} F R \omega = (I \dot{\omega} + \rho^{\prime\prime} F R)\omega)
Daraus ergibt sich für die Änderung der Winkelgeschwindigkeit
und damit eine linearer Verlauf der der Winkelgeschwindigkeit
 = \omega_0 - \frac{\rho^{\prime\prime} F R}{I}\,t)
Durch Auflösen dieser Gleichung nach t ermittelst du die Zeit, die der Kreisel bis zum Stillstand benötigt, wobei ich dabei alle anderen Terme als konstant ansehe und vernachlässige, dass der Kreisel umkippt. Zumindest für einen schnellen, "aufrechten" Kreisel lange vor dem Umkippen sollte das eine taugliche Näherung für die Zeitabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit sein.
Was jetzt noch fehlt sind die Werte für den Reibungskoeffizienten; wie gesagt, dazu bitte in Tabellen nachschauen, ggf. auch eher im technischen Fachbereichen wie Maschinenbau o.ä.
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Michael H.
Gast
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| Michael H. Verfasst am: 05. Apr 2013 13:06 Titel: |
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SO
da der Kreisel nach der Zeit t eine Winkelgeschwindigkeit 0 hat
 = 0)
die Reibung ist ja von der Kraft F und dem Reibungskoeffizienten abhängig
der Reibungskoeffizient ist dann auch wieder von der Materilkombination abhängig
für den Kreisradius der Auflagefläche habe ich eine Formal gefunden
physik.uni-augsburg.de/~wobsta/tippetop/tippetop.pdf
ab der Abildung 1.5
wo sich mittles der "Eindrücktiefe" h über das Kreissegment (wikipedia.org/wiki/Kreissegment) die Kreissehne s ( s = 2 r) ausrechnen läst. |
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