| Autor |
Nachricht |
Danx
Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 17
|
 Danx Verfasst am: 17. Mai 2013 19:30 Titel: Lagrange: Energie und relativistische kinetische Energie ber |
 |
|
Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit den Energien beim Langrange-Formalismus.
Ich habe aus folgende Lagrange-Funktion L:
 )
v ist ein Potential
außerdem folgende Energie:
Gesucht sind:
a) die Bewegungsgleichung
b) die Herleitung für die Energie E, Beweis der Gültigkeit von E=T+V und die relativistische kin. Energie T
c) T für den Fall 
Meine Ideen:
Ich habe zunächst berechnet:
dann nach der Lagrange-Gleichung:
K: 
für K bekomme ich ganz am Ende heraus:
=\frac{\partial V(\vec{r}}{\partial r_i} )
Nun ist die Frage, wie löse ich a) bis c)?
Ist meine Bewegungsgleichung nicht schon mit K bestimmt? |
|
 |
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 17. Mai 2013 19:42 Titel: |
|
|
Die Bewegungsgleichung ist die Euler-Lagrange-Gleichung. Allerdings hast Du Dich verrechnet (verschrieben?), in Deiner Gleichung tauchen viel zu viele Zeitableitungen auf und Beschleunigung zum Quadrat sollte auch nicht auftauchen.
Die Energie ist bei Lagrangefunktionen, die nicht explizit von der Zeit abhängen, gegeben durch die Hamiltonfunktion. Also musst Du H ausrechnen und zeigen dass H die Form H= T+V hat. Wenn Du dann T hast, kannst Du auch den nicht-relativistischen Grenzfall angeben. |
|
|
Danx
Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 17
|
| Danx Verfasst am: 17. Mai 2013 20:36 Titel: |
|
|
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
Ok, dann ist die Bewegungsgleichung, dass, was bei mir unter Lagrange-Gleichung läuft.
Habe mich tatsächlich verrechnet und gleichzeitig auch vertippt. Lösung für die Euler-Lagrange/Lagrange-Gleichung sollte dann sein:
 =\frac{\partial V(\vec{r})}{\partial r_i} )
was gleich dem ist:
 =\frac{\partial V(\vec{r})}{\partial r_i} )
Stimmt das nun? Wenn nicht, dann schreibe ich die einzelnen Schritte hier noch rein. Würdest du das dann korrigieren?
Zur Hamiltonfunktion / Energie: Das sagt mir überhaupt nichts. Das hatten wir in der Vorlesung noch gar nicht... |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 18. Mai 2013 08:08 Titel: |
|
|
Sieht besser aus.
Ihr müsst ja irgendwie die Energie definiert haben in der Vorlesung. Das geht auch über das Noether-Theorem. (Was aus Deiner Sicht vermutlich sehr abstrakt und umständlich wäre... aus meiner allerdings sehr elegant  ) |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 18. Mai 2013 08:09 Titel: Re: Lagrange: Energie und relativistische kinetische Energie |
|
|
| Danx hat Folgendes geschrieben: |
|
Sorry, irgendwie hab ich diese Zeile anscheinend überlesen vorher. Das ist die Hamiltonfunktion. Die kannst Du doch nun einfach ausrechnen... |
|
|
Danx
Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 17
|
| Danx Verfasst am: 18. Mai 2013 19:34 Titel: |
|
|
Hi jh8979,
Ach, das ist die? Gut zu wissen...
Irgendwo ist glaube ich ein Fehler, daher dachte ich mir, dass ich meine Ableitungschritte hier doch noch herein schreibe. Würdest du das bitte überprüfen?
 )
In Komponentenschreibweise:
 )
Impuls:
Euler-Lagrange: mit 
also ist  zu berechnen:
 \cdot \frac{1}{ (\sqrt{1-\frac{\dot{r}_{i}^{2}}{c^2}})^{3} } \cdot (-2) \dot{r}_{i} \ddot{r}_{i} \cdot \frac{1}{c^2})
Zusammengefast:
} \end{pmatrix} )
Nun noch:
 = \, oder \, \frac{\partial }{\partial q} V(\vec{r}) ? )
Stimmt das so? Ich glaube, ich hatte in den anderen Post immer eine zweite Ableitung von r, als die Beschleunigung vergessen.
Alles in Euler-Lagrange einsetzten, Bewegungsgleichung fertig?
Trotz der Partiellen Ableitung vom Potential V ist das die Bewegungsgleichung?
Gut, nun alles für die Hamilton-Funktion vorbereiten und Einsetzten, ist nun auch klar, jedoch:
Wie betrachte ich dann den Grenzfall 
Mit Taylorreihe oder wie?
Danke und Grüße
DanX |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 18. Mai 2013 20:19 Titel: |
|
|
Du scheinst mit der Indexschreibweise noch ein wenig auf Kriegsfuss zu stehen 
Die Lagragefunktion ist ein Skalar, trägt also nie einen Index (L_i ist falsch). Gleichungen wie q=r_i (oder deine dL/dr_i=dVdq) sind (bis auf ganz spezielle Ausnahmen) auch nicht richtig, da eine Seite anscheinend ein Skalar ist und die andere ein Vektor.
Ansonsten sieht die Ableitung gut aus.
Und ja, die nicht-relativistische Näherung mit Taylorreihe. |
|
|
Danx
Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 17
|
| Danx Verfasst am: 18. Mai 2013 20:47 Titel: |
|
|
Hi.
Danke sehr.
Zu den Indizes:
Ja, ich mag die tatsächlich nicht so...:-), aber ich dachte, da beim Impuls p_i, der bei der Aufgabe über dL/dr'_i gegeben war, dass ich dann so mit den Indizes umgehen muss.
dann werde ich das mal alles so machen, wie du gesagt hast....danke.
Falls noch etwas komisch wird, werde ich mich hier in diesem Thread wieder melden....
schönen Abend
Danx |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 18. Mai 2013 20:55 Titel: |
|
|
| Danx hat Folgendes geschrieben: |
Zu den Indizes:
Ja, ich mag die tatsächlich nicht so...:-), aber ich dachte, da beim Impuls p_i, der bei der Aufgabe über dL/dr'_i gegeben war, dass ich dann so mit den Indizes umgehen muss. |
Musst Du auch. Davon abgesehen ist es in so ziemlich jedem Bereich der theoretischen Physik wichtig mit Indizes "umgehen" zu koennen. Aber das ist letzt endlich nur Übungssache.. also einfach losrechnen und gucken was rauskommt |
|
|
Danx
Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 17
|
| Danx Verfasst am: 19. Mai 2013 16:44 Titel: |
|
|
Hi,
ich habe nun doch noch Probleme, irgendwie bin ich jetzt verwirrt:
1. Es steht bei der Aufgabe, dass das k bei der Energie x, y, z ist. Das heißt doch dann für die Euler-Lagrange-Gleichung, da ich ja die totale Zeitableitung von p_i erstellen muss, dass meine Lösung doch immer noch falsch ist, oder?
Es steht in der Wurzel ja
?)
da Vektor mal Vektor gleich Vektorbetrag^2 ist
Und daher müsste ich doch eigentlich in der Zeitableitung eine Mischung aus r's mit Index und r's ohne Index haben, oder? Also r's mit und ohne Index und gleichzeitig mit einem oder zwei Punkten.
2. Bei der Energie habe ich dann einfach eingesetzt bzw. abgeleitet. Dann bekomme ich folgenden Term heraus:
}} + mc^{2} \sqrt{1-(\dot{r}/c^2)} - U(\vec{r}))
Laut meiner Formelsammlung sieht die relativistische kinetische Energie T anders aus...denn diese wäre dann für meinen E-Term ja:
}} + mc^{2} \sqrt{1-(\dot{r}/c^2)})
Könntest du evtl. meine Lösungen noch Mals prüfen und ggfs. auch noch mal selber durchrechnen?
Evtl. liegt es an den Indizes...
Ich wäre dir wirklich dankbar, wenn du da noch mal nachrechnen würdest...
Grüße
Danx |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 19. Mai 2013 16:54 Titel: |
|
|
Bis auf die Tatsache, dass dein  quadriert sein sollte unter den Wurzeln, ist Dein Ausdruck fuer E richtig. Die ersten beiden Terme kann man allerdings noch zusammenfassen. Dann erhält man eine recht einfache Form für die Gesamtenergie.
Die kinetische Energie ist die Differenz zwischen Gesamtenergie und der Ruheenergie (also die Energie bei  . |
|
|
Danx
Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 17
|
| Danx Verfasst am: 19. Mai 2013 17:21 Titel: |
|
|
Hi,
ja, du hast recht, das ^2 habe ich vergessen hier ins Forum zu tippen.
zur Energie:
Gut, dann werde ich einfach  setzten und das von E aus der Hamilton-Gleichung abziehen um auf meine kinetische Energie zu kommen. Danke sehr.
Ich habe bereits versucht, die ersten beiden Summanden in E zusammenzufassen, jedoch habe ich da nichts brauchbares bei heraus bekommen.
Könntest du mir da einen Tip zum Zusammenfassen geben?
Index:
Könntest du evtl. mir die Index-Sache korrigieren? Also den Post über dem von dir mit dem Index-Hinweis soweit berichtigen, dass es völlig korrekt ist?
Ich glaube dadurch ist mein Problem entstanden...
Danke und Grüße
Danx |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 19. Mai 2013 17:48 Titel: |
|
|
Energie:
Bring doch mal die beiden ersten Terme auf denselben Nenner.
Indizes:
Ich weiss nicht genau wo Dein Problem liegt. Ob man für für die Indizes 1,2,3 oder x,y,z schreibt ist egal und nur eine Schreibweise:
 =(r_1,r_2,r_3)=(r_x,r_y,r_z)=(x,y,z))
Die Schreibweise mit Indizes ist deswegen bequem, weil es Formeln kompakter machen kann, insbesondere wenn man die Einsteinsche Summenkonvention benutzt (d.h über doppelt auftretende Indizes wird summiert aber das Summenzeichen wird nicht mitgeschrieben):
 ) |
|
|
Danx
Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 17
|
| Danx Verfasst am: 19. Mai 2013 18:36 Titel: |
|
|
Ah, deshalb stimmt alles, was ich geschrieben hatte.
Danke sehr... |
|
|
Danx
Anmeldungsdatum: 17.05.2013
Beiträge: 17
|
| Danx Verfasst am: 26. Mai 2013 13:06 Titel: |
|
|
Vielen Dank für deine Hilfe...
Alles ist nun klar und es kam dann das richtige heraus... |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
