Unterschied Eigenwert und Erwartungswert

The Observer · Gast

Ganz simpel gefragt: Wo ist der Unterschied? Wenn ich z. B. den harmonischen Oszillator betrachte mit der Eigenwertgleichung:

Dann geben mir die Eigenwerte n sozusagen dass an, was ich letzten Endes im Zustand

messe. Nun macht aber der Erwartungswert

doch genau das Gleiche?! Also wo ist jetzt der Unterschied zwischen Erwartungswert und Eigenwert einer Observablen?

Uriezzo · Anmeldungsdatum: 15.09.2011 Beiträge: 281 Wohnort: Großostheim

Der Eigenwert gehört immer zu einem Eigenzustand der Observablen. In Deinem Fall ist der Eigenzustand

.
Ist das System in einem Eigenzustand einer Observablen, dann besitzt diese Observable einen scharfen, vorhersagbaren Messwert, nämlich den Eigenwert.
Der Erwartungswert der Observablen entspricht in diesem Fall dem Eigenwert, wie Du schon festgestellt hast.

Das System muss aber nicht in einem Eigenzustand sein. Es könnte sich zum Beispiel in dem Zustand

befinden. Der Zustand

ist kein Eigenzustand von N. Ihm entspricht kein Eigenwert. Ich kann den Messwert der Observablen N in diesem Fall nicht eindeutig vorhersagen. Es könnte n oder m sein, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit 0.5. Trotzdem kann ich den Erwartungswert der Observablen N auch in diesem Zustand berechnen:

Den Erwartungswert einer Observablen kann ich also für jeden beliebigen Zustand berechnen, in dem sich ein System befinden kann. Aber nur ganz bestimmten Zustände, den Eigenzuständen, lässt sich ein Eigenwert zuordnen.

Man könnte es so zusammenfassen:

Die Eigenwerte einer Observablen sind die Summe aller möglichen Messwerte dieser Observablen.
Der Erwartungswert ist der gemittelte, zu erwartende Messwert dieser Observablen für einen bestimmten Zustand, in dem sich das System befindet.
Im Falle eines Eigenzustandes fallen Eigenwert und Erwartungswert zusammen.