Differentialgleichung Lösung gesucht

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Ich hätte da folgende Differentialgleichung

Dabei sei

eine Kurve im Raum,

ein Vektorfeld im Raum, f eine Funktion der Zeit und

sei die Zeitableitung der Kurve im Raum, also im Grunde die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Kurve. Schließlich ist noch

wiederum die Zeitableitung von

, also die Punktbeschleunigung.

Als zusätzliche Randbedingung gilt noch

was bedeutet, dass

nur seine Richtung ändern kann, nicht aber seinen Betrag. Daraus folgt übrigens unmittelbar auch, dass

.

Interessiert wäre ich an einer geschlossenen Lösung für s bzw. v und f bei gegebener Anfangsbedingung für t=0, wenn g gegeben ist. Wenn allgemein keine Lösung zu haben ist, dann vielleicht wenigstens für

.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielleicht noch als Hintergrund. Die Gleichung erhält man, wenn man naiv, klassisch ein Photon in ein Gravitationsfeld steckt und Kraft = d/dt Impuls aufschreibt. Daher f als Frequenz und die Randbedingung |v|=const.

Und nein, das ist keine Hausaufgabe. Aus dem Alter bin ich lange raus.-)

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Jo, wenn in dem Ansatz von erkü keine betragsmäßig konstante GEschwindigkeit rauskommt so existiert keine derartige Trajektorie.

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Besten Dank mal für die Hinweise. Da werde ich mal die Literatur zu homogenen/inhomogenen DGL wälzen müssen, denn

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Ja der Teil mit dem Vektor unterm Bruchstrich ist formal nicht ganz richtig. Die Lösung der DGL sieht formal in allen Komponenten identisch aus, dass meint er mit der Schreibweise.
Di allgemeine Lösung einer linearen DGL erhält man aus der Summe der Lösung der homogenen DGL und einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414