Bewegungsgleichung aufstellen

kekskrümel · Anmeldungsdatum: 11.06.2013 Beiträge: 3

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich komme bei der folgenden Aufgabe einfach nicht weiter:

Eine Punktmasse m ist so gelagert, dass sie nur vertikale Bewegungen ausführen kann. Die Punktmasse ist gelenkig mit einem masselosen Stab verbunden. Der Stab wird durch zwei Federn gleicher Länge aber unterschiedlicher Steifigkeit vertikal abgestützt. Gesucht ist die Bewegungsgleichung.
Gegeben sind: Punktmasse: m = 10kg
Federsteifigkeit links: k1 = 20 N/mm
Federsteifigkeit rechts: k2 =20 N/mm
Abstand Feder-Punktmasse links: a = 200 mm
Abstand Feder-Punktmasse rechts: b = 350 mm

Die Lösung ist

Meine Ideen:
Ich habe die dynamische Grundgleichung angewendet, aber weiß nicht wie ich weiter verfahren soll. Unterschiedliche Steifigkeiten bedeuten unterschiedliche Federkräfte und unterschiedliche Federwege, doch ich weiß nicht, wie ich ansetzen muss.

Bin so weit gekommen:

Wäre sehr froh und dankbar, wenn jemand helfen könnte.

Schöne Grüße

Äther · Anmeldungsdatum: 22.12.2011 Beiträge: 387

Hast Du uns die vollständige Aufgabenstellung gepostet? In der Lösung taucht nämlich ein l auf, das weder in der Zeichnung noch sonstwo erwähnt wird - um welche Größe handelt es sich dabei?

kekskrümel · Anmeldungsdatum: 11.06.2013 Beiträge: 3

Ich konnte nicht ganz entziffern, ob es sich in der Lösung hierbei um eine 1 oder ob es sich um ein l handelt. Ich habe angenommen, dass es ein l ist und es sich um die Gesamtlänge handelt (a+b). Kann sein, dass ich mich täusche
Es ist auch die Eigenkreisfrequenz gefragt, das ist dann aber kein Thema, wenn man die Bewegungsgleichung hinbekäme.

zracki · Anmeldungsdatum: 28.05.2013 Beiträge: 59

Wenn die Lösung so lautet, wie von Dir angegeben, scheint die Gewichtskraft keine Rolle zu spielen, da g ja nicht auftaucht. Um x1 und x2 zu eliminieren brauchst Du noch 2 weitere Gleichungen:

Der Stab stellt einen starren Rotor dar, gelagert um den Mittelpunkt von m. Da er masselos ist (Trägheitsmoment =0), vermute ich dass sich die beiden angreifenden Drehmomente kompensieren müssen (obwohl er sich natürlich trotzdem dreht):

Eine weitere Beziehung wird durch folgende geometrische Betrachtung geliefert: Der tangens des Wingels zwischen Stab und Horizontale muss überall gleich sein, z.B bei A und m:

Eliminieren von x1 und x2 aus diesen beiden Gleichungen und Einsetzen in die Gleichung von Dir (ohne g) führt hoffentlich zur angegebenen Lösung.

kekskrümel · Anmeldungsdatum: 11.06.2013 Beiträge: 3

Danke schon mal für die Hilfe.
Die Gewichtskraft ist in der Lösung tatsächlich nicht enthalten. Allerdings: Die Schwingung wird doch, wenn ich so überlege, gerade durch die Gewichtskraft enorm beeinflusst. Müsste sie dann nicht enthalten sein? Ist vielleicht die Musterlösung fehlerhaft?

@zracki:
Der Winkel zwischen Horizontale und Stab ist links und rechts von der Gewichtskraft gleich, nur weiß ich leider nicht, wie du auf die letzte Gleichung

kommst

Der Tangens ist ja x1/a bzw. x2/b, woher kommen die beiden x?

Und wie kann ich x1 und x2 eliminieren? Wenn ich die Gleichung

nach x1 oder x2 auflöse und das dann in die Gleichung

einsetze und diese anschließend nach x auflöse habe ich wieder entweder x1 oder x2 als unbekannte. Selbst wenn ich dieses x in die Gleichung

einsetze, habe ich eine Unbekannte.

Ich stehe total auf dem Schlauch und bitte euch um Hilfe.
Viele Grüße

zracki · Anmeldungsdatum: 28.05.2013 Beiträge: 59

Mache die Zeichnung nochmal mit schrägem Stab. Zeichne dann die "Steigungsdreiecke" des Stabs an A und m ein.

also

In tangens-Gleichung einsetzen gibt:

also

x2 in Kraftgleichung gibt

Darin x1 einsetzen gibt

= angegebene Lösung (Zähler und Nenner mit b k2 multiplizieren).