alles dieselbe Zeit für die Erde?

Dopap · Anmeldungsdatum: 24.02.2011 Beiträge: 198 Wohnort: Ostalbkreis

ich nehme mal an, dass die kürzeste Umlaufdauer für einen Satelliten 86 min sei.

Ist die ungehinderte Fallzeit durch den Ermittelpunkt bis nach Neuseland auch 86 min?
Ist die Schwingungsdauer eines Pendels mit Erdradius auch 86 min ?

Würde eine reibungsfreie Röhren_Fahrt geradlinig nach Rio auch 86 min dauern?
Nimmt die Feldstärke im Inneren linear ab.?

oder hab ich das falsch gelesen ?

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Nach einigem Raten glaube ich, dass folgendes gemeint sein könnte: Betrachtet wird eine exakte Kugel mit Masse M, Radius R und homogener Dichte

ohne Atmosphäre. Ein Satellit möge sich im Abstand

vom Mittelpunkt der Masse (+ ein kleines

, damit es keine Reibung mit der Oberfläche gibt) auf einer Kreisbahn um die Masse befinden. Dann ist seine Umlaufzeit:

Die Gravitationsbeschleunigung im Inneren der Masse ist:

Dabei ist M(r) der Anteil der Masse im Inneren von r. Das führt zu:

Denkt man sich ein kleines Loch diametral vom Rand der Masse durch den Mittelpunkt gebohrt und lässt einen Körper mit Anfangsgeschwindigkeit 0 von der Oberfläche durch das Loch fallen, so führt der Körper nach der vorigen Gleichung für die Beschleunigung eine Sinusschwingung durch, deren Schwingungsdauer gleich der Umlaufzeit des Satelliten ist.

Geht das Loch nicht durch den Mittelpunkt der Kugel, sondern bildet eine Sehne, ändert sich daran nichts. Wenn der Körper sich im Abstand x vom Mittelpunkt der Sehne befindet, sei sein Abstand zum Mittelpunkt der Kugel

und

sei der Winkel zwischen dem Radius durch den Mittelpunkt der Sehne und dem Radius durch die aktuelle Position des Körpers. Der Anteil der Gravitationsbeschleunigung in Richtung der Sehne ist

mit

Nach Einsetzen von

kürzt sich

weg und man hat dieselbe Schwingungsgleichung wie bei dem diametralen Loch, nur mit der Variablen x statt der Variablen r. Also ist auch die Schwingungsdauer dieselbe.

Ein mathematisches Pendel mit Pendellänge l, dessen schwingende Masse sich im Abstand R vom Mittelpunkt der Kugel befindet, hat bei kleinen Auslenkungen die Schwingungsdauer

Setzt man

ergibt sich wieder obige Schwingungsdauer. Die Frage der Befestigung des Pendels bei

überlässt der Physiker den Ingenieuren als Übungsaufgabe.

Dopap · Anmeldungsdatum: 24.02.2011 Beiträge: 198 Wohnort: Ostalbkreis

ja, besten Dank Huggy Thumbs up!

ist es richtig, dass in einem künstlichen Horizont im Flugzeug im Prinzip ein Pendel steckt mit ebenfalls T=86 min, derart, dass trotz horizontalen Beschleunigungen und längeren Flügen das "Pende" immer zum Erdmittelpunkt zeigt ?

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Das kann ich mir nicht vorstellen. Siehe auch z. B.

http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%BCnstlicher_Horizont#Flugzeuginstrument