langrage 0 freiheitsgrade?

Gast01 · Gast

Auf einer zylindrischen,umeine horizontaleAchse drehbaren
Walze (Radius R, Masse M) ist ein Faden der Länge l >> R aufgewickelt. Das
eine Ende des Fadens ist an der Walze befestigt, am freien Ende hängt die
Masse m. Die Massendichte der Walze steige von der Achse nach außen, mit
Null beginnend, linear mit dem Radius an.Die Koordinate z derMassemwerde
von derWalzenachse aus nach unten gezählt.

wir haben sechszwangsbedigungen Xs,Ys,Zs=0 des zylinders
koordinate von masse x,y=0 z=rphi ->0 freiheitsgrad macht es sinn?

zracki · Anmeldungsdatum: 28.05.2013 Beiträge: 59

Der einzige Freiheitsgrad ist hier der Drehwinkel der Walze, aus dem sich dann auch das z der Masse m ergibt.

Wenn Du es ganz formal machen willst, darfst Du nicht vergessen dass die Walze zusätzlich zu den Schwerpunktskoordinaten noch die 3 Eulerwinkel als Freiheitsgrade hat. Die Tatsache dass die Walze auf einer horizontalen Achse befestigt ist, gibt dann nochmal 2 Zwangsbedingungen.

Gast01 · Gast

besten dank
für gilt V=mgz ?

zracki · Anmeldungsdatum: 28.05.2013 Beiträge: 59

Ich vermute Du meinst L=T-V .
Wenn z nach unten gezählt werden soll muss V=-mgz sein.

Für T brauchst Du noch die kinetische Energie der Masse und der Walze, wobei man für die Walze zuerst das Trägheitsmoment um die Achse berechnen muss gemäß der angegebenen Massendichteverteilung.

Gast01 · Gast

zracki · Anmeldungsdatum: 28.05.2013 Beiträge: 59

Das macht aber nichts, die Musterlösung addiert einfach die Konstante
mg(l+R) zur Lagrangefunktion (eigentlich völlig überflüssig). Dadurch ändern sich aber die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht, das sieht man schon daran dass die verallgemeinerte Kraft = -Gradient V gleich bleibt.

Das ganze ist nur ein Spezialfall der Tatsache dass Lagrangefunktionen, die sich um die totale Zeitableitung einer Ortsfunktion unterscheiden, äquivalent sind.