Kepler-Problem:streuwinkel

leo258 · Gast

für die klausurvorbereitung habe versucht folgende aufgabe zulösen komme aber nicht weiter

[img]s1.directupload.net/file/d/3321/daqm8c5v_png.htm[/img]
ideen:
E=1/2mv^2-a/R=1/2mv_unendlich
wenn ich das skalarpk. benutze
also v*v_unendlich=IvI*Iv_unendlichI*cosx
mein gesuchter winkel ist phi=x+90

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Kennst Du die Polarkoordinatendarstellung für Kegelschnitte?

Die Zentralmasse M liegt in einem der Brennpunkte und für den hier auftretenden Kegelschnitt Hyperbel gilt

In Vektoren sieht das so aus:

mit dem radialen Einheitsvektor

.

Daraus ergibt sich der Geschwindigkeitsvektor wie üblich durch Differentiation nach t

mit dem azimuthalen Einheitsvektor

.

Für t gegen unendlich kann hier die Azimuthalkomponente

vernachlässigt werden, was Du dir physikalisch und geometrisch selbst überlegen kannst. Im Grenzwert tauchen dann der Drehimpuls L und die Bahnparameter

und p auf!

Den gesuchten Streuwinkel

erhältst Du für

, wenn der Nenner in der oben angegebenen Polarkoordinatendarstellung verschwindet, d.h. für die Richtung der Asymptote des hier relevanten Zweiges der Hyperbelbahn.

ergibt sich aus der Anfangsbedingung und es gilt

so daß sich die Bahnparameter letztlich aus den Parametern des Gravitationspotentials und der Anfangsgeschwindigkeit berechnen lassen.

Außerdem gilt wegen der Drehimpulserhaltung:

Nachdem ich das verwurstet habe, bekomme ich

heraus. Kann das jemand nachvollziehen? Sieht zumindest gut aus Big Laugh

Gruß von Bruce

Edit 1: Hier hatte das Fehlerteufelchen Teufel

die Finger im Spiel.

Edit 2: Außerdem habe ich noch einige wenige Zwischenschritte angegeben,
denn nach einigen Wochen mußte ich selbst erst mal wieder überlegen,
wie die Umformungen zustande gekommen sind und das ist immer
sehr heilsam.