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JetztZugreifen
Gast
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 JetztZugreifen Verfasst am: 27. Aug 2013 17:59 Titel: Fluchtgeschwindigkeit |
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Hallo
habe mal eine kurze Frage zur Herleitung der Fluchtgeschwindigkeit.
Es ist eine kinetische Energie nötig, um einen Gegenstand aus dem Gravitationsfeld zu befördern.
daher:
Diese muss mindesten so groß (bzw größer) sein, als wie die Gravitations entgegen wirkt.
Für diese gilt:
Energie ist ja eine Art von Arbeit daher muss ich bei der Gravitation noch eine Masse und einen Weg hinzufügen.
Daher komme ich im Endeffekt auf
Nach der Geschwindigkeit umstellen und man erhält
Soweit ist mir das denke ich einigermaßen klar.
Nun zur eingentlichen Frage.
Die eigentliche Formel lautetet ja
Da ist genau der Punkt den ich nicht mehr nachvollziehen kann.
Wieso ist der Weg in dem Fall der Radius des Planeten?
Danke |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 27. Aug 2013 19:30 Titel: Re: Fluchtgeschwindigkeit |
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| JetztZugreifen hat Folgendes geschrieben: |
Wieso ist der Weg in dem Fall der Radius des Planeten?
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Weil die Formel für die Energie die aufgewendet werden muss, eben nicht einfach g*m*s ist... also schon, aber nicht so wie Du es darstellst:
Die kinetische Energie muss gleich der potentiellen Energiedifferenz zwischen Planetenoberfläche und dem "Unendlichen" sein. Das ist gerade
wobei r der Radius des Planeten ist. Deine Formel ist genau dasselbe wenn du s=r setzt.
Dein Ansatz g*m*s ist aber nicht wirklich richtig, weil g z.B. nur die Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche ist. Ist der Körper erstmal in einer gewissen Höhe, wirkt eine sehr viel kleiner Gravitationskraft von der Erde auf ihn als auf der Oberfläche. Mehr oder weniger zufällig kriegst Du trotzdem das richtige Ergebnis raus, wenn Du einen speziellen Wert für s wählst. Allerdings ist dann bei Dir nicht klar, wieso gerade dieser Wert der richtige ist.
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 27. Aug 2013 19:34, insgesamt einmal bearbeitet |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 27. Aug 2013 19:31 Titel: Re: Fluchtgeschwindigkeit |
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| JetztZugreifen hat Folgendes geschrieben: | Energie ist ja eine Art von Arbeit daher muss ich bei der Gravitation noch eine Masse und einen Weg hinzufügen.
Daher komme ich im Endeffekt auf
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Autsch! Das ist sowohl vom physikalischen als auch von mathematischen Standpunkt fragwürdig. Weder ist Energie eine Form von Arbeit, noch ist Arbeit eine Form von Energie. Energie ist eine Erhaltungsgröße, die sich aus der Homogenität der Zeit ergibt. Arbeit ist lediglich die Änderung einer Energieform, von daher finde ich es noch halbwegs vertretbar, Arbeit als Energieform zu bezeichnen (meiner Meinung nach ist es dennoch falsch), aber andersherum ist das nicht sinnvoll. Abgesehen davon diskutieren wir hier über Begriffe, daraus etwas Mathematisches ableiten zu wollen ("daher muss ich..."), ist keine korrekte Vorgehensweise.
Nun zur mathematischen Seite: Hast du Kenntnisse über Differential-/Integralrechnung? Ohne die müsstest du als gegeben hinnehmen, dass die potentielle Energie  ist. Ich würde dir dann aber empfehlen, diese Kenntnisse dir anzueignen, denn ohne die wirst du kaum vernünftig Physik betreiben können. Das eigentliche Problem ist, dass sich die Kraft mit der Entfernung zum Planeten verändert. Die potentielle Energie ist hier
 = - \int_{\infty}^{\vec r} \vec F(\vec r ) \cdot \dd \vec r = - \int_\infty^r - \frac{G M m}{r^2} \dd r = - G M m / r )
Dann sollte es auch keine Lücken geben: die potentielle Energie am Anfang plus die Geschwindigkeit am Anfang ist gleich die potentielle Energie am Ende plus die Geschwindigkeit am Ende, also null (Gravitationsenergie wird im Unendlichen null):
Aber wenn du eine unsaubere Herleitung hast und wie durch Zauberei plötzlich s multiplizierst, brauchst du dich nicht zu wundern, wenn Müll herauskommt. In diesem Fall ist es noch Zufall, dass das Ergebnis wenigstens optisch Ähnlichkeit mit dem richtigen hat. |
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JetztZugreifen
Gast
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| JetztZugreifen Verfasst am: 27. Aug 2013 21:24 Titel: |
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Hallo
vielen Dank für die Hilfe
Ist halt so, dass ich eigentlich nichts mit Physik "am Hut habe", aber ich es mir halt im Moment einigermaßen aneingen "muss".
Daher würde es für mich wohl reichen das einfach so hinzunehmen.
Für das bessere Verständnis ist es vieleicht trotzdem gut.
Integralrechnung bzw. Differentialrechnung kann ich, solange es nicht zu komplex wird.
Nun zum eingetlichen Thema:
Wenn ich das richtig sehe ist die potentielle Energie allgemein die Ableitung der Kraft nach dem Weg.
Wo ich Schwierigkeiten habe, ist wieso aus der vektoriellen Größe r eine skalare Größe wird?
Danke im Vorraus |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 27. Aug 2013 23:45 Titel: |
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| JetztZugreifen hat Folgendes geschrieben: | Nun zum eingetlichen Thema:
Wenn ich das richtig sehe ist die potentielle Energie allgemein die Ableitung der Kraft nach dem Weg.
Wo ich Schwierigkeiten habe, ist wieso aus der vektoriellen Größe r eine skalare Größe wird? |
Nein, das ist nicht richtig. Andersherum aber: Allgemein ist die Kraft gleich der (negativen) Ableitung der potentiellen Energie nach dem Weg, zumindest für Potentialkräfte, wie es die Gravitationskraft eine ist. Das gilt in alle Richtungen, das heißt die x-Komponente der Kraft ist das Negative der Ableitung der potentiellen Energie nach x, usw., insgesamt heißt das der "Gradient"  = - \operatorname{grad} V(\vec r) = - \nabla V(\vec r)) , also ) .
Andersherum heißt das, dass durch Integrieren der Kraft nach dem Weg (Skalarprodukt) die potentielle Energie herauskommt. Das Integral ist dabei vom Weg unabhängig (das kann man mit dem Satz von Stokes zeigen und liegt letztendlich genau daran, dass die Gravitationskraft eine Potentialkraft ist und als solche als Gradient von etwas dargestellt werden kann, und die Rotation eines Gradienten ist immer null). Das heißt, allgemein könnte man ansetzen:
 = V(r) = -\int_{\vec r'}^{\vec r} \vec F \cdot \dd \vec s = - \int_{r'}^{r} F_s \dd s)
dabei ist  die Komponente der Kraft entlang s (die Gravitationskraft zeigt natürlich immer zum Zentrum hin, also könnte man auch einfach nur F schreiben). In der klassischen Mechanik sind nur Differenzen zwischen potentiellen Energien interessant und sinnvoll. Wenn man aber keinen guten Grund hat, den Potentialnullpunkt irgendwo anders zu wählen, wählt man als untere Integrationsgrenze r' unendlich, sodass die potentielle Energie gerade im Unendlichen null wird. Die potentielle Energie an einer Stelle ist also bis auf das Vorzeichen gleich der Arbeit, die erforderlich ist, um einen Massenpunkt aus dem Unendlichen an diese Position zu bringen.
Tut mir leid, wenn mein Ton etwas hart war. Es ist natürlich immer etwas schwer, wenn man gezwungen ist, sich mit solchen Sachen zu beschäftigen. Deiner Herleitung hatte einfach jede Logik gefehlt. Du solltest versuchen, nicht nur Terme zu manipulieren, sondern auch vor dem inneren Auge zu behalten, was du gerade machst. Dir sollte auch klar sein, dass die Formel  nur unter einigen Voraussetzungen gilt:
- Kraft und Verschiebung zeigen in dieselbe Richtung (ggf. nur die Komponente in Richtung der Verschiebung nehmen)
- Betrag der Kraft bleibt gleich. Ansonsten die allgemeinere Definition
 nehmen (die natürlich Ähnlichkeiten mit der potentiellen Energie zeigt – bis auf das Vorzeichen).
PS: Es gibt verschiedene "Arten", (nach) Vektoren abzuleiten, u.a. Richtungsableitung/Gradient (Skalar nach Vektor -> Vektor) und Divergenz (Vektor nach Vektor -> Skalar) |
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