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Apollo18
Anmeldungsdatum: 20.08.2013
Beiträge: 12
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 Apollo18 Verfasst am: 28. Aug 2013 11:01 Titel: Raketengleichung Gravitation |
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ich schreibe gerade meine Facharbeit über die Raketengleichung am Start einer Saturn V Rakete.
Habe mir die Daten zu Apollo 11 geholt (Gewicht, Brennschluss erster Stufe, Höhe, max. Geschwindigkeitspezifischer Impuls...)
Wollte dann diese Messungen mit meinen theoretisch errechneten vergleichen. Dazu leite ich zuerst die Raketengleichung her.
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche...orie-zur-rakete
Wollte dann die Grundgleichung noch um die Gravitation erweitern.
Da sich der Aufstiegswinkel ändert, ist alpha der aktuelle Winkel zur vertikalen.
- g*t *cos(alpha) müsste doch dann der letzte Teil sein oder, wie stelle ich dar, dass alpha von t abhängt?
Muss ich den dann noch integrieren? |
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HAL 9000
Gast
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| HAL 9000 Verfasst am: 28. Aug 2013 13:39 Titel: |
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Man muss wohl schon bei der DGL die Geschwindigkeit in zwei Komponenten "vertikal/horizontal" trennen:
\cdot \frac{\dd}{\dd t} \begin{pmatrix} v\cos\alpha \\ v\sin\alpha \end{pmatrix} = \frac{\dd m}{\dd t} v_{rel} \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} mg \\ 0 \end{pmatrix})
Im Gegensatz zum senkrechten Aufstieg bzw. im gravitationsfreien Raum muss man nun wohl Annahmen über den Masseverlauf ) treffen, um weiterrechnen zu können. Naheliegend wäre vielleicht ein konstanter Masseverlust pro Zeit, also sowas wie  , dann ist =m_0-\mu t) :
\cdot \frac{\dd}{\dd t} \begin{pmatrix} v\cos\alpha \\ v\sin\alpha \end{pmatrix} = -\mu v_{rel} \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} mg \\ 0 \end{pmatrix})
bzw. komponentenweise und unter Nutzung der Produktregel:
 (\dot{v}\cos\alpha - v\dot{\alpha}\sin\alpha) = -\mu v_{rel}\cos\alpha - mg)
 (\dot{v}\sin\alpha + v\dot{\alpha}\cos\alpha) = -\mu v_{rel} \sin\alpha)
Das ist nun eine 2x2-DGL-System für den Vektor ,\alpha(t))) , das es zu lösen gilt.
P.S.: Ich finde es schon seltsam, dass der entsprechende Thread im Matheboard gesperrt wurde. Mag sein, es hat einen physikalischen Hintergrund, aber der ist (s.o.) schnell abgetan, und dann kommt die blanke Mathematik zum Zuge.  |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7462
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| Steffen Bühler Verfasst am: 28. Aug 2013 14:01 Titel: |
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| HAL 9000 hat Folgendes geschrieben: | | Ich finde es schon seltsam, dass der entsprechende Thread im Matheboard gesperrt wurde. Mag sein, es hat einen physikalischen Hintergrund, aber der ist (s.o.) schnell abgetan, und dann kommt die blanke Mathematik zum Zuge. |
Kurz dazu: es wurde gesperrt, nachdem Apollo18 die Frage hier noch einmal gestellt hat. Sie war dort auch schon teilbearbeitet, da sinkt die Wahrscheinlichkeit auf eine Antwort.
Ansonsten hätte ich sie stehengelassen, auch wenn es sich hier m.E. nicht unbedingt um einen einfachen Sachverhalt wie s=0,5gt² handelt, der nun wirklich "schnell abgetan" ist. Diese "Grenzfälle" werden allerdings von puristischen Moderatoren auch gern geschlossen. Mathematiker kennen keine Gravitation.
Viele Grüße
Steffen |
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Apollo18
Anmeldungsdatum: 20.08.2013
Beiträge: 12
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| Apollo18 Verfasst am: 28. Aug 2013 14:29 Titel: |
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Vielen Dank für die Antwort  |
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Apollo18
Anmeldungsdatum: 20.08.2013
Beiträge: 12
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| Apollo18 Verfasst am: 28. Aug 2013 16:46 Titel: |
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| HAL 9000 hat Folgendes geschrieben: | Man muss wohl schon bei der DGL die Geschwindigkeit in zwei Komponenten "vertikal/horizontal" trennen:
Im Gegensatz zum senkrechten Aufstieg bzw. im gravitationsfreien Raum muss man nun wohl Annahmen über den Masseverlauf treffen, um weiterrechnen zu können. Naheliegend wäre vielleicht ein konstanter Masseverlust pro Zeit, also sowas wie , dann ist :
bzw. komponentenweise und unter Nutzung der Produktregel:
Das ist nun eine 2x2-DGL-System für den Vektor , das es zu lösen gilt.
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Danke für die Antwort, denke aber, dass das etwas zu schwierig ist.
Kann ich auch einfach eine zusammengesetzte Funktion verwenden, bei der ich bis zu 10s nach Start die ursprüngliche Funktion verwende und danach eine Funktion finde, bei der die Gravitation (vergleichbar zu zwei Dimensionen) abnimmt? |
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Physikgast
Gast
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| Physikgast Verfasst am: 28. Aug 2013 19:25 Titel: |
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Am besten ist es wenn du einen konstanten Winkel  nimmst
Dann wird  zu Null
Dazu mußt du halt alle Daten irgendwie in Einklang bringen |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 28. Aug 2013 20:47 Titel: |
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Der Ansatz F ~ mg funktioniert nur für kleine Höhen; allgemein müsste man das Newtonsche Gravitationspotential verwenden
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 28. Aug 2013 21:49 Titel: |
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| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | | Mathematiker kennen keine Gravitation. |
Das ist traurig. Um Vladimir I. Arnol'd zu zitieren (On teaching mathematics):
| Zitat: | | A teacher of mathematics, who has not got to grips with at least some of the volumes of the course by Landau and Lifshitz, will then become a relict like the one nowadays who does not know the difference between an open and a closed set. |
Es gab übrigens mal einen Thread zum Thema auf dem Matheplaneten, den ich in einem anderen Raketenthread hier verlinkt hatte. Anscheinend gibt es doch ein paar Mathematiker, die die Realität nicht ganz verdrängt haben.  |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7462
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| Steffen Bühler Verfasst am: 29. Aug 2013 08:33 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | | Mathematiker kennen keine Gravitation. |
Das ist traurig. |
Aber wahr. Reine Mathematik mag wunderschön sein, aber es hat mich schon damals im E-Technik-Studium geärgert, dass unser durchaus kompetenter Mathedozent keinerlei Praxisbezug kannte. Bei den Schwebungen wusste er nicht, dass die schon beim Stimmen einer Wanderklampfe entscheidend sind. Ebensowenig, dass Zündspule und Kondensator so aufeinander abgestimmt sind, dass sie im aperiodischen Grenzfall arbeiten. Gut, dass der nächste Stern vier Lichtjahre weit weg ist, muss man nicht unbedingt wissen. Aber bei der Fouriertransformation darauf zu bestehen, dass man sich davon lösen sollte, dies nur als Umwandlung von Zeit- (oder meinetwegen Orts-) signalen in die Frequenzspektren anzusehen, wie es ein Ingenieur nun mal ausschließlich tut, hat mich wirklich irritiert. "Natürlich kann t als Zeit angesehen werden und jw als Frequenz, aber das ist nur ein Nebenaspekt!" Aber eben der entscheidende und motivierende. Ein Student, der vorher gesagt bekommt, was man mit dem anfangen kann, was man gerade lernt, begreift die Dinge meines Erachtens weitaus schneller.
So, jetzt aber genug OT.
Viele Grüße
Steffen |
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Apollo18
Anmeldungsdatum: 20.08.2013
Beiträge: 12
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| Apollo18 Verfasst am: 29. Aug 2013 09:15 Titel: |
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so, zurück zu meiner Frage:
kann ich Raketengleichung auch als zusammengesetzte Funktion darstellen? |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 29. Aug 2013 09:33 Titel: |
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| Apollo18 hat Folgendes geschrieben: | so, zurück zu meiner Frage:
kann ich Raketengleichung auch als zusammengesetzte Funktion darstellen? |
Was meinst du mit "zusammengesetzte Funktion"? Meinst du, dass du eine einzige Gleichung hast, die den ganzen Ablauf fasst? Dazu müsstest du Annahmen über alpha machen, wie bereits Physikgast gesagt hat.
Übrigens ist die Gleichung von HAL 9000 meines Erachtens nach falsch, da sie auf  aufbaut, was aber falsch ist, wenn sich die Masse ändert:  . Ich würde ansetzen (u = Ausstoßgeschwindigkeit, µ = Massenausstoßrate, M = Erdmasse, Re = Erdradius):
 \ddot x = (u - \dot x ) \mu - \frac{G M (m_0 - \mu t)}{(x + R_e)^2})
um auch gleich die Anmerkung von TomS umzusetzen. |
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Apollo18
Anmeldungsdatum: 20.08.2013
Beiträge: 12
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| Apollo18 Verfasst am: 29. Aug 2013 09:41 Titel: |
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(geschweifte Klammer) für t<100 f(t)
für t>100 g(t)
so ungefähr.
Wobei f(t) die Raketengrundgleichung mit Gravitation ist und g(t) eine neue Funktion, bei dem die Raketegleichung gleich ist, aber die Gravitation mit zunehmender Höhe abnimmt (näherungsweise so, wie bei einer zweidimensionalen Funktion).
Müsste eigentlich funktionieren oder? |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 29. Aug 2013 09:57 Titel: |
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Ein stückweise definierte Funktion. 
Warum? Du kannst doch von Anfang an den korrekten Gravitationsansatz wählen. Statt  / (x + R_e)^2) könntest du natürlich auch  \cdot g \left( 1 - \frac{x}{R_e + x} \right)^2) verwenden, das kommt auf dasselbe heraus. Aber warum willst du die Formel verkomplizieren und dabei noch künstlich ungenau machen, wenn du eine einfachere, genauere Formel haben kannst? Das ergibt für mich keinen Sinn!
Dass man den newtonschen Ansatz für große Höhen nehmen muss, heißt nicht, dass man ihn für kleine Höhen nicht nehmen darf bzw. dass er nicht auch da richtig wäre. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 29. Aug 2013 10:38 Titel: |
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@Jayk
Die Gleichung von HAL ist richtig!
Man kann sie so für  überall nachlesen. Sie stimmt außerdem mit deiner Gleichung überein. Der Term  steht bei dir auf beiden Seiten und fällt daher weg. Und es ist . HAL hat zudem beachtet, dass man  üblicherweise negativ rechnet, weil die Masse der Rakete abnimmt.
@Apollo18
Die Berücksichtigung der Abhängigkeit der Gravitation vom Abstand zur Erdmitte ist für die erste Stufe der Rakete numerisch klein. Der Unterschied der Gravitation zwischen Boden und 65 km Höhe beträgt nur ca. 2 %. Und mit entfernungsabhängiger Gravitation dürfte die Raketengleichung nur noch numerisch lösbar sein.
Wenn du die Bahnkurve der Rakete berechnen willst, nützt dir die Gleichung von HAL allerdings nichts, weil die Flugbahn aktiv gesteuert wurde. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 29. Aug 2013 10:45 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: | @Jayk
Die Gleichung von HAL ist richtig!
Man kann sie so für überall nachlesen. Sie stimmt außerdem mit deiner Gleichung überein. Der Term steht bei dir auf beiden Seiten und fällt daher weg. Und es ist . HAL hat zudem beachtet, dass man üblicherweise negativ rechnet, weil die Masse der Rakete abnimmt. |
Oh ja, natürlich. Ich habe mir wohl unter vrel etwas falsches vorgestellt. |
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Physikgast
Gast
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| Physikgast Verfasst am: 01. Sep 2013 09:59 Titel: |
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Ich habe inzwischen gemerkt,daß die Gleichung von HAL 9000 hier nicht geeignet ist
weil die Schubrichtung und die Geschwindigkeitsrichtung unterschiedlich sind
man kann hier kein gemeinsames  nehmen
\cdot \frac{\dd}{\dd t} \begin{pmatrix} v_y \\ v_x\end{pmatrix} = -\frac{\dd m}{\dd t} v_{rel} \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m(t)g \\ 0 \end{pmatrix})
Ich habe hier noch ein Minus eingefügt, weil  meist positiv angegeben wird |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 01. Sep 2013 11:03 Titel: |
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Ich sehe die Sache wie folgt: Wenn die Flugbahn aktiv gesteuert wird, nützt so eine Differentialgleichung wenig. Wenn die Flugbahn nicht aktiv gesteuert wird, sind Schubrichtung und Flugrichtung identisch, aber dann gibt es auch keinen Grund zur Annahme, dass sich alpha in irgendeiner Form ändert. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 01. Sep 2013 12:28 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Wenn die Flugbahn nicht aktiv gesteuert wird, sind Schubrichtung und Flugrichtung identisch, aber dann gibt es auch keinen Grund zur Annahme, dass sich alpha in irgendeiner Form ändert. |
Das ist nicht richtig.
Es sei  der Neigungswinkel des Tangentenvektors der Flugbahn zur Senkrechten und  der Neigungswinkel der Raketenachse zur Senkrechten. Nun seien die beiden Winkel zu einem Zeitpunkt zwar gleich, aber von Null verschieden. Momentan stimmen also Schubrichtung und Flugrichtung überein. Jetzt muss man die Situation innerhalb der Atmosphäre und außerhalb der Atmosphäre unterscheiden.
Außerhalb der Atmosphäre hat man als Kräfte nur den Schub und die Gravitation. Beide üben kein Drehmoment auf die Rakete aus. Deshalb wird sich nicht ändern. wird sich aber ändern, denn die Gravitation ist ja nicht tangential zur Flugbahn gerichtet. Die beiden Winkel werden danach immer stärker voneinader abweichen.
Wenn sich innerhalb der Atmosphäre eine Abweichung zwischen den beiden Winkeln bildet, wird die Rakete nicht mehr genau von vorne angeströmt. Die Asymmetrie der Rakete, von der Seite betrachtet, insbesondere die Stabilisierungsflossen am hinteren Ende der Rakete, bewirkt dann, dass die Luftströmung ein Drehmoment auf die Rakete ausübt. Dieses Drehmoment bringt wieder in Einklang mit (passive Fluglagensteuerung). Daher ändern sich jetzt beide Winkel infolge der Gravitation. Diese Situation beschreibt das DGL-System von HAL. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 01. Sep 2013 12:31 Titel: |
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Oh ja, wie peinlich. |
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