Ortsvektor Zylinder

newmember · Gast

hallo
meine frage ist folgende:
warum ist der ortsvektor in zylinderkoordinaten r(r,phi,z) unabhängig von der winkel-komponente (phi), wenn die einheitsvektoren in r,phi und z richtung zeigen. (ich hoffe es ist klar was ich meine^^).
also die mathematische herleitung ist mir bekannt, nur rein anschaulich leuchtet mir dies nicht ein.
hat jemand vll dazu eine anschauliche erklärung?
vielen dank schonmal smile

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Zylinderkoordinaten liefern dir ein krummliniges, aber orthonormales Koordinatensystem. Das bedeutet, dass du lokal in jedem Punkt im Raum, beschrieben durch

,

und

, ein eigenes rechtwinkliges Koordinatensystem (

,

und

) definierst.

Meist wird nun, wenn du einen Ortsvektor in Zylinderkoordinaten angibst, zu dessen Darstellung dasjenige lokale Koordinatensystem verwendet, welches zu diesem Ortspunkt gehört. Und dieses ist so gerichtet, dass du eben nur Komponenten in

und

benötigst. Konkret:

Wenn du aber nun mit zwei (Orts-)Vektoren in Zylinderkoordinaten rechnen willst, musst du stets das selbe lokale Koordinatensystem verwenden, welches durch einen Satz

definiert ist. Das heißt, du kannst einen der Ortsvektoren durch sein lokales Koordinatensystem darstellen, musst aber den zweiten Vektor durch das selbe lokale Koordinatensystem (des ersten Vektors) darstellen. Dieser zweite Vektor hat dann i.A. Komponenten in alle drei Richtungen, also

Es sei noch angemerkt, dass im Fall von Zylinderkoordinaten das lokale Koordinatensystem nur von

, in einem allg. krummlinigen Koordinatensystem aber von allen drei Variablen abhängig sein kann.