Stoß einer Billiardkugel

Herijuana · Anmeldungsdatum: 02.11.2013 Beiträge: 22

Hi,
ich habe ein Problem mit einem Bsp. das ich für eine Lehrveranstaltung meines Physikstudiums lösen muss.

Die Angabe sieht folgendermaßen aus:

"Eine Billardkugel der Masse M und Radius R wird von einem Kö gestoßen, so dass der
Schwerpunkt der Kugel die Geschwindigkeit v0 erhält. Ebenso erfolgt der Stoß mit dem Kö zentral, derart dass die Richtung des Impulses durch den Schwerpunkt der Kugel geht. Der Reibungskoeffizient zwischen Tisch und Kugel sei μ. Wie weit bewegt sich die Kugel bis die anfängliche Gleitbewegung in eine reine Rollbewegung übergeht?"

Ich habe leider keine Idee für einen vernünftigen Ansatz und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.

Herijuana · Anmeldungsdatum: 02.11.2013 Beiträge: 22

es soll kein Wert berechnet werden, das Bsp soll mit Unbestimmten gerechnet werden und die Lösung soll ungefähr so aussehen

Lösung(steht auf dem Übungszettel):

s= (12/49)*[v²/(g*mü)]

Ich weiß aber nicht wie man auf diese Lösung kommt

Namenloser324 · Gast

Habe bis auf den Koeffizienten das Ergebnis raus. Hab mich wohl irgendwo verrechnet.
Folgende Vorgehensweise:
Erstmal Informationen aus dem Text auswerten:

Zentraler Stoß -> keine Anfangswinkelgeschwindigkeit.
Anfangsgeschwindigkeit v0 > 0

Bewegungsgleichungen aufstellen:

Für den Schwerpunkt gilt:

M*d²X/dt² = -F, F = M*g*mü

Für die Winkelbeschleunigung gilt:
J*d²phi/dt² = F*R

Nun lautet die Rollbedingung:
X = Phi*R

Das Problem ist, dass die Bedingung in der Form nur für Systeme gilt in denen die Rollbedingungen von Anfang an erfüllt ist.
Sonst steckt in X nämlich noch die konstante Anfangsstrecke während der die Rollbedingung noch nicht erfüllt war.
Nun behilft man sich mit der Ableitung nach der Zeit, welche diesen konstanten Wert verschwinden lässt:

dX/dt = R*dPhi/dt, dies gilt unter der Rollbedingung immer.

Wir suchen zunächst die Zeit t nach welcher obige Gleichung erfüllt ist.
Anschließend setzen wir diese Zeit in die Bewegungsgleichung des Schwerpunktes ein und erhalten damit einen Ausdruck für die zurückgelegte Strecke!

dPhi(t)/dt = F*r*t/J
dX/dt = -F*t/m + v0

Gleichsetzen via Rollbedingung:
(F*r*t/J)*r = -F*t/m + v0

Auflösen nach t.
Dieses t dann in die Weg-Zeit Funktion von x(t) einsetzen.

x(t) = 0,5*(-F/m)*t² + v0*t

Damit erhälst du dann korrekt die zurückgelegte Strecke!

Der Trick ist lediglich die gegebenen Informationen korrekt auszuwerten.

Herijuana · Anmeldungsdatum: 02.11.2013 Beiträge: 22

danke für die Hilfe !

Namenloser324 · Gast

Nichts zu danken! smile

Herijuana · Anmeldungsdatum: 02.11.2013 Beiträge: 22

Könntest du mir vielleicht noch erklären warum die Rollbedindung X = Phi*R ist ? Und wie man darauf kommt ?
Die erste Zeitliche Ableitung davon dX/dt=R*dPhi/dt erkenne ich wieder, wenn mich nicht alles täuscht müsste das der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit sein.

Namenloser324 · Gast

Herijuana · Anmeldungsdatum: 02.11.2013 Beiträge: 22

Ok das habe ich jetzt verstanden, aber jetzt habe ich noch ein weiteres Problem.

Wenn ich (F*r*t/J)*r = -F*t/m + v0 nach der Zeit umstelle erhalte ich

t = v0 / [ F*r²/J + F/m ]

wenn ich das t in x(t) = 0,5*(-F/m)*t² + v0*t einsetzt erhalte ich eine recht komplizierte Gleichung die ich nicht auf die Form der angegebenen Lösung
( s= (12/49)*[v²/(g*mü)] ) umformen kann

habe ich da etwas falsch verstanden oder bin ich unfähig das richtig umzuformen ?

wie der Herausgeber des Übungszettels auf den Koeffizient 12/49 kommt ist mir sowieso schleierhaft ..

Namenloser324 · Gast

Welchen Wert hat J(=Trägheitsmoment) einer Vollkugel?
Wie lautet denn die Formel für F?
Danach löst sich alles in wohlgefallen auf Augenzwinkern

Herijuana · Anmeldungsdatum: 02.11.2013 Beiträge: 22

Für das Trägheitsmoment habe ich J=(2/5)*m*r²
Unf für F hast am Anfang festgelegt: F = M*g*mü und -F=M*d²X/dt²
mit diesen Werten habe ich gerechnet:

aber

x(t) = 0,5*(-F/m)*{v0 / [ F*r²/J + F/m ] }² + v0*{v0 / [ F*r²/J + F/m ]}

löst sich dann irgendwie nicht in Wohlgefallen auf Hilfe

Namenloser324 · Gast

F*r²/J = ?

Schreib alles was da ausschreibbar ist mal aus.

Systemdynamiker · Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 594 Wohnort: Flurlingen

Einen alternativen Lösungsweg habe ich in einem Video vorgestellt

http://www.youtube.com/watch?v=6DyI4h_tnvI

Herijuana · Anmeldungsdatum: 02.11.2013 Beiträge: 22

x(t) = 0,5*(-F/m)*{ v0 / [ m*g*mü*r²/(2/5)*m*r² + m*g*mü/m ] }² + v0*{v0 / [ m*g*mü*r²/(2/5)*m*r² + m*g*mü/m ] }

x(t)=0,5*(-F/m)*{ v0 / [ g*mü* (2/5 + 1 ) ] }² +v0² / [ g*mü* (2/5+1) ]

x(t)=0,5*(-F/m) * ( 5*v0 / 7*g*mü )² + ( 5*v0² / 7*g*mü )

x(t)= 0,5*(-F/m) * ( 25*v0² / 49*g²*mü² ) + ( 5*v0² / 7*g*mü )

soweit bin ich glücklich mit der Umformung doch nun stehe ich an
der einzige Weg das aufzulösen ist wenn ich für -F = -m*g*mü einsetzte
allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich das darf
dann würde sich folgendes ergeben

x(t)=0,5*(-g*mü) * ( 25*v0² / 49*g²*mü² ) + ( 5*v0² / 7*g*mü )

x(t)=( -25*v0² / 2*49*g*mü ) + ( 5*v0² / 7*g*mü )

x(t)= -25*v0² / 98*g*mü + 70*v0² / 98*g*mü

x(t)=( -25*v0² + 70*v0²) / / 98*g*mü

x(t)= 45*v0² / 98*g*mü

x(t)= 45/98 * v0² / g*mü

x(t)= 22,5 / 49 * v0² / g*mü

das kommt dem Ergebnis schon recht nahe vielleicht habe ich mich bei dem Koeffizient verrechnet.
Aber ich fage mich eher ob es erlaubt ist für -F was eigentlich M*d²x/dt² ist -m*g*mü einzusetzen ?
Ansonsten komme ich mit dem Bsp jz klar und bedanke mich für die hilfreichen Ratschläge.

Namenloser324 · Gast

Wieso solltest du das nicht tun dürfen? Welche andere Kraft sollte da wirken?

Ich blicke leider nicht so recht durch, was du da wie verrechnest, da deine Klammersetzung etwas obskur ist.

Wenn ich meine eigenen Notizen dazu noch richtig lese, dann erhalte ich am Ende folgenden Ausdruck für x(t)

x(t) = (- mü*g/2)*(4*v0²/(7²*mü²*g²)) + (v0²*2/(7*mü*g))
Der erste Summand entspricht -F/m *t² der Zweite natürlich dem anderen t.

Wobei genau 12/49 als Koeffizient rauskommt.

Herijuana · Anmeldungsdatum: 02.11.2013 Beiträge: 22

Ok danke jetzt ist alles klar.
Habe meinen Fehler bereits gefunden.