Fourierzerlegung

JAGGIE · Anmeldungsdatum: 19.04.2013 Beiträge: 85

HEy Leute,
Ich soll für folgende Funktion die ersten beiden Cosinus-Fourierglieder aufstellen, die nicht verschwinden.

Ich hab dafür zuerst mal probier das cos^2 umzuschreiben indem ich 0.2 ausgeklammert habe und dannach das cos^2 mithilfe trigonometrischer Zusammenhänge zerlegt. Sodass dann dasteht:

Aber das kann ich immernoch nicht richtig auflösen. Mathematica wirft mir da einen Ausdruck mit Tan^-1 und tan aus. Ich denke es gibt da irgendeine Form um den Ausdruck noch einfacher zu schreiben, aber ich bin ehrlich überfragt. Fällt einem von euch was dazu ein ?

Wiktoria · Gast

Warum steht im Argument des Kosinus 1 im Nenner ?

Namenloser324 · Gast

In der Zeit hättest du die Koeffizienten doch schon ausgerechnet, oder ist gerade das Integral das Problem? Dafür gibts Integraltafeln.

JAGGIE · Anmeldungsdatum: 19.04.2013 Beiträge: 85

Da sollte eigentlich ein a im Nenner stehen keine 1.
Ja das Integral an sich ist das Problem. Und genau dieses Integrale findet ich nirgends würde diese 5 bzw. die Eins vorne nicht stehen, wäre das alles ja auch kein Problem.
Deswegen habe ich ja auch versucht, das Integral zu vereinfachen, was aber nicht sonderlich viel geholfen hat.
Wenn du also zufällig eine Idee oder eine Tabelle hast wo die Lösung eines solchen Integrals drinnen steht, schick sie ruhig. Wenn ichs hinbekommen hätte, würde ich hier nicht reinschreiben. Soviel mal dazu

Namenloser324 · Gast

Probier mal die Substitution s = SQRT(0.2*cos^2(2pi*x))
bzw daraus folgend x = ... von s.
Man hätte dann den Bruch in der Form 1/(1+s^2), ad hoc weiß ich allerdings nicht ob das erhaltene Differential dann sinnvoll ist.

Wiktoria · Gast

Deine Funktion hat die Periode T = 1/2.

Du musst zunächst eine neue Variable einführen, so dass die Periode = 2*pi wird.

Erst dann kannst du Fourierkoeffizient mit Hilfe der Euler-Formeln rechnen.

Namenloser324 · Gast

Oder er nutzt die allgemeine Formel de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Allgemeine_Form

JAGGIE · Anmeldungsdatum: 19.04.2013 Beiträge: 85

Ich hatte auch eigentlich vor die allgemeine Form zu nehmen, da der Sinus-Anteil sowiso rausfällt. Blos dieses Integral hat mir zu schaffen gemacht bzw. ich bin noch dran

JAGGIE · Anmeldungsdatum: 19.04.2013 Beiträge: 85

Also das mit dem substituieren geht nicht.
Ich kann das Integral zwar noch weiter zerlegen, aber es bleibt immernoch ein unglaubliches schwieriges Integral.
Hat vielleicht noch irgendjemand eine Idee was ich damit machen könnte?

Namenloser324 · Gast

Huhu, habs mir mal richtig angeguckt:

Wie siehts aus mit:

Integral ( cos(a*x)/1-0.2*cos^2(a*x)) = Integral (cos(a*x)/(sin²+0.8*cos^2))
natürlich auch a*x im Nenner jeweils.
Das gilt so natürlich nur für k = 1
Es existiert dafür aber eine Stammfunktion:
wolframalpha.com/input/?i=Integral+cos%28a*x%29%2F%28sin%28a*x%29%5E2+%2B+0.8*cos%28a*x%29%5E2%29