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Shamia 079
Gast
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 Shamia 079 Verfasst am: 15. Nov 2013 17:28 Titel: Rakete-Brennzeit-Geschwindigkeit |
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Meine Frage:
Helau, Alaaf!
Eine Rakete startet senkrecht von der Erdoberfläche und behält ihre Richtung bei. Ihre Masse  vor dem Start beträgt  , davon sind  Treibstoff.
Soweit ist alles klar.
Die verbrannten Gase werden mit einer konstanten Geschwindigkeit  relativ zur Rakete ausgestoßen.
Die Rate  beträgt  .
a) Bestimmen Sie, wie lang die Brennzeit  beträgt.
b) Berechnen Sie wie groß die Geschwindigkeit der Rakete am Ende der Brennphase ist. Verwenden Sie dazu die Raketengleichung aus der Vorlesung. Berücksichtigen Sie auch die Erdanziehungskraft.
c) Ermitteln Sie, welche Höhe die Rakete nach der Brennzeit erreicht hat.
d) Bestimmen Sie, welche Höhe die Rakete maximal erreicht. Vernachlässigen Sie dabei die Luftreibung und gehen Sie von einer konstanten Erdbeschleunigung aus.
Hinweis: Substituieren Sie  und verwenden Sie  dx = x lnx -x)
Meine Ideen:
a) 
b) Raketengleichung aus der Vorlesung
 ( ist negativ, wenn  positiv ist. Diesen Zusammenhang kann ich nicht begreifen und was bedeutet  und 
c) Gesucht: Höhe. Ich brauch also den Weg, den die Rakete innerhalb der 20 Sekunden bewältigt
 also gilt für den Weg 
Ich muss die Geschwindigkeit ermitteln, die bekomme ich ja aus Aufgabenteil b).
d) Da kann ich momentan leider keine Ideen beitragen. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
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| planck1858 Verfasst am: 15. Nov 2013 18:11 Titel: |
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Hi,
du sollst ja bei c) die Höhe berechnen, auf der sich die Rakete nach Ablauf der Brennzeit befindet, bei der Bewegung handelt es sich aber um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe heraus. Das Bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit proportional mit der Zeit ändert. Die Gleichung, die du genannt hast, gilt jedoch für eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 15. Nov 2013 18:24 Titel: |
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Aus der Raketengleichung folgt ja eine Funktion v(t), s(t) bekommst du dann mittels Integration
 = s_0 + \int_0^t dt^\prime \,v(t^\prime))
v=s*t gilt nur bei konstantem v.
Bei d) musst du die Endgeschwindigkeit sowie die maximaler Höhe verwenden und anschließend den senkrechten Wurf betrachten
betrachten.
(und in Abhängigkeit der Lösung kannst du mal prüfen, ob die Näherung konstanter Gravitation noch gilt, denn die Raketengleichung setzt dies zwar voraus, aber tatsächlich ist das Gravitationsfeld der Erde ~ 1/r, d.h. die Annahme ~ mgh ist evtl. nicht zutreffend)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 15. Nov 2013 18:44 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | | bei der Bewegung handelt es sich aber um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe heraus. Das Bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit proportional mit der Zeit ändert. Die Gleichung, die du genannt hast, gilt jedoch für eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. |
Ja, ein fataler Fehler.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Aus der Raketengleichung folgt ja eine Funktion v(t), s(t) bekommst du dann mittels Integration
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Wie kommst du von meiner Raketengleichung auf diese? Ich verstehe den Zusammenhang nicht bzw. was mir beide Gleichungen sagen sollen.
a) ist nehme ich an richtig? und bei b)?
Thanks  |
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Wiktoria
Gast
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| Wiktoria Verfasst am: 15. Nov 2013 18:51 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | | bei der Bewegung handelt es sich aber um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe heraus. |
Das ist doch Unsinn! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 15. Nov 2013 19:18 Titel: |
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| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: | | Wie kommst du von meiner Raketengleichung auf diese? Ich verstehe den Zusammenhang nicht bzw. was mir beide Gleichungen sagen sollen. |
Nun, du berechnest in b) die Funktion v(t) als Lösung der Raketengleichung speziell für deine Rakete. Meine Formel für s(t) gilt nun für jede beliebige Geschwindigkeit v(t), also auch für dein spezielles v(t). Damit berechnest du also den zurückgelegten Weg, d.h. letztlich die Höhe.
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 15. Nov 2013 19:59 Titel: |
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[quote="TomS"] | Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: |
Nun, du berechnest in b) die Funktion v(t) als Lösung der Raketengleichung speziell für deine Rakete. Meine Formel für s(t) gilt nun für jede beliebige Geschwindigkeit v(t), also auch für dein spezielles v(t). Damit berechnest du also den zurückgelegten Weg, d.h. letztlich die Höhe. |
Aber wie berechne ich das speziell? Also ist deine Formel falsch? Ich soll die Erdanziehungskraft berücksichtigen. Wie soll ich das denn noch in der Gleichung anwenden?
Ich tue mich unheimlich schwer mit dem Verständnis. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 15. Nov 2013 20:24 Titel: |
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Bei welcher Teilaufgaben hast du ein Problem? Wenn du die Raketengleichung aus der Vorlesung kennst, dann kannst du doch diese Gleichung (Differentialgleichung) sowie die Lösung hier angeben. Daraus folgt dann die Lösung für c) so wie ich das angegeben habe.
Die Raketengleichung findest du auch hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Raketengrundgleichung
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 15. Nov 2013 20:38 Titel: |
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Ich weiß einfach nicht wie ich daraus die Geschwindigkeit berechnen soll. Das ist die einzige Raketengleichung aus der Vorlesung. Und was ist mit der Berücksichtigung der Erdanziehungskraft gemeint? Mit ist doch nur die Anfangsgeschwindigkeit gemeint, oder? Ich verstehe einfach den Sachverhalt dieser Gleichung nicht.
Wenn ich dann die Geschwindigkeit habe, dann kann ich ja hier einsetzen
und die Zeit kenne ich ja mit  . |
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Wiktoria
Gast
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| Wiktoria Verfasst am: 15. Nov 2013 21:09 Titel: |
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Shamia,
v0 ist nicht die Anfangsgeschwindigkeit, sondern vrel in deiner Aufgabe.
Du sollst auch einheitliche Bezeichnungen wählen.
v für Geschwindigkeiten (und nicht V)
m für Masse (und nicht M)
vrel für die relative Gasgeschwindigkeit (und nicht v0.
Die Anfangsgeschwindigkeit der Rakete = 0.
a) Deine Brenndauer ist richtig (jedoch ein Tippfehler in der Formel)
b) Ich helfe dir mal für die Geschwindigkeit.
Aus der Vorlesung: dv = -dm/m*vrel
dies integrieren wir
=v_{rel}*\int_{mi}^{mi-R*t}(dm/m)=v_{rel}*ln(\frac{mi}{mi-R*t}))
Wenn wir noch die Erdanziehung (mit g=konstant angenommen) berücksichtigen wollen, so müssen wir noch g*t von dieser Geschwindigkeit abziehen.
c) Um den Weg (die Höhe) zu erhalten, musst du nun v(t) nach t integrieren. Dies ist etwas schwerer. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 15. Nov 2013 21:35 Titel: |
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| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: |
Ich weiß einfach nicht wie ich daraus die Geschwindigkeit berechnen soll. |
Diese DGL solltest du lösen können. Ansonsten findest du die Lösung mit Herleitung im Wikipediaartikel.
Hast du den Artikel gelesen? Hast du dazu konkrete Fragen? Einfach nur "ich weiß nicht ..." ist zu unspezifisch.
Anschließend musst du die Gleichung noch um die Gravitationskraft erweitern, aber zunächst musst du die einfache Gleichung wirklich verstanden haben.
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 15. Nov 2013 23:12 Titel: |
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Ich hab's jetzt verstanden, also habe mir den Wikiartikel durchgelesen und jetzt sitzt es
Jetzt muss davon noch
= 5 \cdot 10^3 m/s \cdot ln(\frac{300kg}{300kg-200kg})
Ist das so richtig? R * t ist doch der ausgestoßene Treibstoff also 200kg?
Bei c) muss ich das jetzt nach t integrieren. Ich versuche mich mit dem Hinweis anzufreunden, also so zu substitieren, mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich das substitierte x im Argument des ln's ersetzen soll?  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 16. Nov 2013 08:53 Titel: |
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Kurze Zusammenfassung der Formeln: Für die Raketengleichung ohne Gravitationskraft gilt die Differentialgleichung
mit der Lösung
 = v_\text{rel} \, \ln\frac{m_i}{m})
Daraus folgt bei konstantem Massenausstoß
 = m_i - Rt)
für die Zeitabhängigkeit der Geschwindigkeit
 = v_\text{rel} \, \ln\frac{m_i}{m_i - Rt})
Jetzt sollst du die Gravitationskraft in die Gleichungen mit einbeziehen. Dazu musst du dir überlegen, wie du die ursprüngliche Impulsbilanz modifizieren musst. Bisher galt ja für das Gesamtsystem "Rakete + Treibstoff"
Diese Impulsbilanz ist bei Einbeziehung der Gravitationskraft nicht mehr gültig.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 16. Nov 2013 09:11, insgesamt einmal bearbeitet |
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 16. Nov 2013 09:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
für die Zeitabhängigkeit der Geschwindigkeit
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Guten Morgen Toms und Danke. Ja genau und das muss ich jetzt nach t integrieren, ich kann nur nicht daraus schließen woher die Höhe dann kommen soll. Es ist ja nach der Höhe der Brennzeit gefragt und bei d) erst nach der maximalen Höhe. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 16. Nov 2013 09:19 Titel: |
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Hallo,
Wenn keine Gravitationskraft gefragt wäre, müsstest du das jetzt integrieren. Das s(t) ist dabei die zurückgelegte Strecke bzw. Höhe zu einer beliebigen Zeit t. Einfach deine Zeit T für den Brennschluss einsetzen und du hast die entsprechende Höhe. Danach fliegt die Rakete kräftefrei.
Aber du sollst die Gravitationskraft mit einbeziehen, d.h. du musst die Aufgabe c) noch fertig lösen.
Bin dann mal weg ...
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 16. Nov 2013 09:30 Titel: |
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Okay  schönes Wochenende Toms.
Aber ich bin doch auf dem richtigen Weg? b) ist doch richtig? Bei c) muss ich dann wie schon gesagt das integrieren und davon dann noch mal die Gravitationskraft miteinbeziehen. Das ist jetzt problematischer, weil ja unter Berücktsichtigung dieser, sie einen Einfluss auf die Höhe einnimmt.
Das heißt nun für mich was |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 16. Nov 2013 09:40 Titel: |
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| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: | Okay :( schönes Wochenende Toms.
Aber ich bin doch auf dem richtigen Weg? b) ist doch richtig? Bei c) muss ich dann wie schon gesagt das integrieren und davon dann noch mal die Gravitationskraft miteinbeziehen. Das ist jetzt problematischer, weil ja unter Berücktsichtigung dieser, sie einen Einfluss auf die Höhe einnimmt.( |
Ich schau heute schon nochmal rein.
Zu c) du hast eine Impulsbilanz in dp = 0. nun ist jedoch F = ma nichts anderes als die Impulsänderung dp/dt = F. D.h. eine Kraft F führt zu dieser Impulsänderung (pro Zeit). Schreib deine Impulsbilanz in dp als Kraftgleichung dp/dt um. Dann hast du eine Kraft auf die Rakete, die durch die ausgestoßenen Gase hervorgerufen wird. Zu diesem Term addierst du nun eine konstante Gravitationskraft mg. Dadurch erhältst du eine modifizierte DGL, die du wieder lösen musst.
Konkret: du kannst die Gleichung
umschreiben zu
Nun steht links die Impulsänderung der Rakete, rechts die Kraft auf die Rakete; letztere musst du um die Gravitationskraft ergänzen.
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 16. Nov 2013 09:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich schau heute schon nochmal rein.
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Supi 
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Nun steht links die Impulsänderung der Rakete, rechts die Kraft auf die Rakete; letztere musst du um die Gravitationskraft ergänzen. |
Das muss ich jetzt nach der Zeit integrieren. Die Masse kürzt sich doch raus, wie man sieht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 16. Nov 2013 13:35 Titel: |
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Deine Gleichung stimmt bis auf eine Vorzeichen
denn die Erdbeschleunigung g wirkt ja der Beschleunigung der Rakete entgegen und geht daher mit einem negativen Vorzeichen ein (dm/dt ist selbst negativ, deshalb ist der erste Term insgs. positiv); die Masse fällt natürlich nicht ganz heraus
-g)
Die Gleichung kannst du sofort integrieren; den ersten Term kennst du bereits von oben, er entspricht der Gleichung ohne Gravitation; das Integral des zweiten Terms ergibt einfach ein -gt.
Das Ergebnis dieser Rechnung gilt natürlich nur für die Brennphase. Am Ende der Brennphase hat die Rakete eine bestimmte Geschwindigkeit und eine bestimmte Höhe. Daran schließt sich nun eine antriebslose Phase an, in den nur die Gravitationskraft wirkt.
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 16. Nov 2013 14:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Deine Gleichung stimmt bis auf eine Vorzeichen
denn die Erdbeschleunigung g wirkt ja der Beschleunigung der Rakete entgegen und geht daher mit einem negativen Vorzeichen ein. |
Richtig, gut erkannt, danke.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | (dm/dt ist selbst negativ, deshalb ist der erste Term insgs. positiv); die Masse fällt natürlich nicht ganz heraus
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Die Masse fällt nicht ganz heraus, verstehe ich jetzt aber davor (dm/dt ist selbst negativ, deshalb ist der erste Term insgs. positiv) weiß ich nicht was du meinst.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die Gleichung kannst du sofort integrieren; den ersten Term kennst du bereits von oben, er entspricht der Gleichung ohne Gravitation; das Integral des zweiten Terms ergibt einfach ein -gt.
Das Ergebnis dieser Rechnung gilt natürlich nur für die Brennphase. Am Ende der Brennphase hat die Rakete eine bestimmte Geschwindigkeit und eine bestimmte Höhe. Daran schließt sich nun eine antriebslose Phase an, in den nur die Gravitationskraft wirkt. |
Der zweite Term, also das g ist klar, aber den ersten Term habe ich schon? Habe ich das wirklich? Nicht in der selben Form.
)
Ich könnte es auseinanderziehen zu
=\ln(m) - \ln(m_i))
und mit dem Hinweis integrieren.
Aber das dt ist ja noch im Nenner, dann kann ich ja nicht einfach integrieren |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 16. Nov 2013 15:10 Titel: |
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| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: | | (dm/dt ist selbst negativ, deshalb ist der erste Term insgs. positiv) weiß ich nicht was du meinst. |
Es gilt
denn die Masse m nimmt ja mit der Zeit ab. Daher ist
| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: | aber den ersten Term habe ich schon? Habe ich das wirklich?
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Ja, du hast diesen Term genau in der Form; schau dir dein obiges Ergebnis für die Integration der DGL (ohne den Zusatztm -g) an.
Ich habe den Eindruck, dass du das Integrieren der DGL nicht wirklich verstanden hast. Hier steht doch lediglich soetwas wie
Integrieren liefert
Nochetwas: es gilt
 = -\ln\left( \frac{m_i}{m} \right))
| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: | Ich könnte es auseinanderziehen zu
und mit dem Hinweis integrieren.
Aber das dt ist ja noch im Nenner, dann kann ich ja nicht einfach integrieren ? |
Nein, das kannst du und musst du nicht. Du kannst keinen Logarithmus für eine dimensionsbehaftete Größe definieren. Was ist der Logarithmus von Kilogramm? Und du musst das auch gar nicht, denn du kannst trivial integrieren, weil d/dt davorsteht (s.o.)
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 16. Nov 2013 17:06 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es gilt
denn die Masse m nimmt ja mit der Zeit ab. Daher ist
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Die mathematische Bedeutung, klar, aber was die physikalische ist, ist mir unklar. Aber wieso ist das so?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ja, du hast diesen Term genau in der Form; schau dir dein obiges Ergebnis für die Integration der DGL (ohne den Zusatztm -g) an.
Ich habe den Eindruck, dass du das Integrieren der DGL nicht wirklich verstanden hast. Hier steht doch lediglich soetwas wie
Integrieren liefert
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Eigentlich war ich ganz fit in Sachen DGL, Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, aber mit physikalischem Hintergrund habe ich irgendwie Augenklappen aufgesetzt bekommen
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ja, du hast diesen Term genau in der Form; schau dir dein obiges Ergebnis für die Integration der DGL (ohne den Zusatztm -g) an.
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Wo ist denn das bitte gleicher Form?
| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: |
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Hier integriere ich ja ganz einfach, weil nämlich die Stammfunktion von  genau ) ist. Danach Auswertung klar.
Aber hier habe ich ja gerade
Ah ich glaube ich habs. Die Integration hebt doch dann einfach das  auf richtig?
Also ist das Integral  = - v_\text{rel} \ln\left( \frac{m}{m_i} \right)) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 16. Nov 2013 23:03 Titel: |
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| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: | | Die Integration hebt doch dann einfach das auf richtig? |
Genau
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 16. Nov 2013 23:22 Titel: |
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Aber ich muss das Integral doch von 0 bis 20 auswerten? Wie soll ich das machen wenn doch es sich aufhebt? Soll ich einfach in
ist das Integral )
die Werte einsetzen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 17. Nov 2013 08:35 Titel: |
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Nun, der erste Term ist unabhängig von der Brenndauer. Er hängt ausschließlich von den Massen ab, und es ist unerheblich, innerhalb welcher Zeit die Verbrennung stattfindet. Du setzt die beiden Massen ein und bist fertig.
Der zweite Term -gt ist abhängig von der Brenndauer.
Zur Erinnerung: du hast die Differentialgleichung
-g)
die du einfach durch Integration lösen kannst
 = - v_\text{rel} \ln\left( \frac{m(t)}{m_i} \right)-gt)
Für die Teilaufgaben d) musst du die zurückgelegte Strecke berechnen; diese lautet allgemein
 = \int_0^t dt^\prime \,v(t^\prime))
Nun musst du die oben gefundene Geschwindigkeit einsetzen und bis zum Ende der Brenndauer integrieren.
Das Ergebnis gilt dann natürlich nur für die Brennphase. Am Ende der Brennphase hat die Rakete eine bestimmte Geschwindigkeit und eine bestimmte Höhe. Daran schließt sich nun eine antriebslose Phase an, in den nur die Gravitationskraft wirkt.
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 17. Nov 2013 11:45 Titel: |
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Also wenn ich bei 
auswerte, habe ich mein Ergebnis für c) ? Nein dann habe ich doch nur die Geschwindigkeit zur Zeit . Wie bekomme ich jetzt daraus die Höhe? Mit 
Für die Teilaufgaben d) muss ich die zurückgelegte Strecke berechnen; diese lautet allgemein
Die oben gefundene Geschwindigkeit setze ich ein und muss bis zum Ende der Brenndauer integrieren.
Notation
Was ist jetzt der Unterschied zwischen ) und )
Ist dann =- v_\text{rel} \ln\left( \frac{m(t')}{m_i} \right)-gt')
 = \int_0^t dt^\prime \,(- v_\text{rel} \ln\left( \frac{m(t')}{m_i} \right)-gt'))
Und was ist jetzt  genau? Die erste Ableitung nach  ja.
Aber wenn ich das ) ausmultipliziere hebt sich das eine Integral mit der Ableitung auf und bei dem anderen bleibt noch eine Ableitung.
 = \int_0^t dt^\prime \,(- v_\text{rel} \ln\left( \frac{m(t')}{m_i} \right)-gt')=- v_\text{rel} \ln\left( \frac{m(t')}{m_i} \right) - gt' |_0^{20})
Wie soll ich jetzt das  behandeln? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 17. Nov 2013 11:58 Titel: |
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Sorry, bin mit der Numerierung durcheinander gekommen ;-)
In b) ist die Endgeschwindigkeit nach der Brennphase gefragt, also v(t) aus der Lösung der DGL, anschließend die t=20 sec einsetzen.
In c) ist die Höhe nach der Brennphase gefragt, also das Integral über v(t') berechnen und t=20 sec einsetzen.
t' ist keine Ableitung!!!
t' ist einfach die Integrationsvariable, die man von der oberen Grenze des Integrals, also t, unterscheiden muss. Und demzufolge ist auch das Integral nicht korrekt. Es geht um
 = \int_0^t dt^\prime \,\left(- v_\text{rel} \ln\left( \frac{m(t')}{m_i} \right)-gt^\prime\right))
Jetzt musst du
 = m_i - Rt^\prime)
einsetzen und das Integral lösen.
Der zweite Term liefert einfach
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 17. Nov 2013 12:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Sorry, bin mit der Numerierung durcheinander gekommen ;-)
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Joa und ich noch mehr 
Also wenn ich jetzt für
einsetze, erhalte ich  = - v_\text{rel} \ln\left( \frac{m(20)}{m_i} \right)-9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 20s = 1831,13 \frac{m}{s})
mit =200kg) und  richtig?
Bei b)
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
t' ist einfach die Integrationsvariable, die man von der oberen Grenze des Integrals, also t, unterscheiden muss. Und demzufolge ist auch das Integral nicht korrekt. |
Das kann ich nicht komplett nachvollziehen. Was ist genau das ) ? Die Masse des Treibstoffes, die sich mit der Zeit ändert. Und ) bezeichnet jetzt
Und was ist das jetzt genau bzw. woher kommt das?
 = \int_0^t dt^\prime \,\left(- v_\text{rel} \ln\left( \frac{m_i - Rt^\prime}{m_i} \right)-gt^\prime\right) = \int_0^t dt^\prime \,\left(- v_\text{rel} \ln\left(1-\frac{Rt^\prime}{m_i} \right)-gt^\prime\right))
Das bringt mich zum Verzweifeln. Es ist keine Ableitung sondern eine Variable. Ich soll dann einfach nach dieser integrieren.
Nun ich glaube ich habe mich damit angefreundet.
Ich soll jetzt  substituieren. Wobei ich für }{R}) erhalte mit:
Dann erhalte ich insgesamt für mein Integral
 = \int_0^t \frac{m_i}{R} dx\left(- v_\text{rel} \ln\left(x \right)-g\frac{x (m_i+1)}{R}\right))
Stimmt das soweit, bevor ich mich mit einem falschen Ergebnis weiter befasse? |
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 17. Nov 2013 12:45 Titel: |
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Ein Fehler habe ich begangen:
}{R}) erhalte mit:
Also:
 = \int_0^t \frac{m_i}{R} dx\left(- v_\text{rel} \ln\left(x \right)-g\frac{m_i (x+1)}{R}\right))
Jetzt müsste es soweit stimmen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 17. Nov 2013 15:31 Titel: |
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Ich weiß nicht, was du da rechnest.
Es gilt
Zu berechnen ist das Integral
)
Wenn du nun substituierst, dann musst du auch die Integralgrenzen substituieren, d.h. du benötigst ein x(0) sowie x(t) als Grenze. Außerdem fehlt dir noch ein Vorzeichen beim Substituieren, denn t' kommt mit einem Minuszeichen daher.
Warum du im zweiten Integral über gt' ebenfalls substituieren willst, ist mir unklar. Das Ergebnis stand in meinem letzten Beitrag schon da, und du kannst das Integral ohne Umwege direkt in t' lösen.
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 17. Nov 2013 16:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich weiß nicht, was du da rechnest.
Wenn du nun substituierst, dann musst du auch die Integralgrenzen substituieren, d.h. du benötigst ein x(0) sowie x(t) als Grenze. Außerdem fehlt dir noch ein Vorzeichen beim Substituieren, denn t' kommt mit einem Minuszeichen daher.
Warum du im zweiten Integral über gt' ebenfalls substituieren willst, ist mir unklar. Das Ergebnis stand in meinem letzten Beitrag schon da, und du kannst das Integral ohne Umwege direkt in t' lösen. |
Ich habe mich vertan, ich habe vergessen, dass man die beiden Integrale unabhängig voneinander berechnen kann... und die ganze Tipperei war umsonst, und ja nebenbei habe ich vergessen die Grenzen zu substituieren.
= 1 - \frac{Rt'}{m_i})
= 1)
 \frac{m_i}{R} dx = \frac{m_i}{R} \int_1^{1 - \frac{Rt'}{m_i}} \ln\left(x\right) dx)
 -x )|_1^{1 - \frac{Rt'}{m_i}})
Soweit richtig? Jetzt noch Rücksubstitution und Auswertung und den linearen Teil nicht vergessen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 17. Nov 2013 22:33 Titel: |
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Das zu berechnende Integral ist korrekt:
Die Substitution passt auch
 = 1 - \frac{Rt'}{m_i})
Aber dann fehlt ein Vorzeichen; richtig ist
Die Grenzen enthalten nicht die Integrationsvariable, d.h. kein '
 = 1 - \frac{Rt}{m_i})
Für das Integral müsste dann gelten
 -x )|_1^{1 - \frac{Rt}{m_i}})
Und ja, den zweiten Term nicht vergessen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 17. Nov 2013 22:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Und ja, den zweiten Term nicht vergessen. |
Hier muss ich aber nicht mehr das x resubstituieren? Ich kann direkt auswerten?
Wie kommt dann die maximale Höhe zu Stande? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 17. Nov 2013 22:52 Titel: |
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| Shamia 079 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Und ja, den zweiten Term nicht vergessen. |
Hier muss ich aber nicht mehr das x resubstituieren? Ich kann direkt auswerten?
Wie kommt dann die maximale Höhe zu Stande? |
Du musst einfach die beiden Grenzen einsetzen
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 17. Nov 2013 23:05 Titel: |
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 -x )|_1^{1 - \frac{Rt}{m_i}})
 \ln\left(1 - \frac{Rt}{m_i}\right) -(1 - \frac{Rt}{m_i}) ) + \frac{m_i}{R} (\ln\left(1\right) -1 ))
 + \frac{m_i}{R} (\ln\left(1\right) -1 ))
 - \frac{m_i}{R} )
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 18. Nov 2013 06:33 Titel: |
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Die dritte Zeile ist nicht richtig, da Fällen bei dir plötzlich einige Vorfaktoren weg
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 18. Nov 2013 09:11 Titel: |
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Aber wieso wenn ich doch obere Grenze minus untere mache dann wird daraus ein Plus
 \ln\left(1 - \frac{Rt}{m_i}\right) -(1 - \frac{Rt}{m_i}) ) -( -\frac{m_i}{R} (\ln\left(1\right) -1 )))
Du meinst dritte Zeile chronologisch von oben?
Die Terme heben sich ja auch auf einmal haben wir ja
 ...)
und )) ohne den Mittelteil betrachtet hebt sich das doch auf wenn man  da noch reinmultipliziert. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 18. Nov 2013 10:27 Titel: |
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Aber du hast einen Vorfaktor vor dem Logarithmus, den du nicht einfach weglassen kannst
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Shamia 079
Gast
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| Shamia 079 Verfasst am: 18. Nov 2013 10:35 Titel: |
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Welcher Vorfaktor vor dem ln Sorri aber das sehe ich nicht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 18. Nov 2013 10:47 Titel: |
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 \ln\left(1 - \frac{Rt}{m_i}\right) )
Das bleibt stehen, da hebt sich nichts weg
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