Schwerpunkte von Körpern

HBX8X · Anmeldungsdatum: 07.11.2013 Beiträge: 159

Tag, ich knoble gerade an einer Aufgabe und komme jedoch nicht wirklich weiter. Es geht um folgende Aufgabe:

Berechnen Sie mittels Oberflächen- bzw. Volumenintegration die Massenmittelpunkte

(a) eines rechtwinkligen Dreiecks mit Kantenlängen a und b,
(b) eines geraden Kreiskegels der Höhe h und des Radius r

Meine Fragen:

Um den Schwerpunkt eines Körpers zu berechnen muss ich ja folgende Formel anwenden laut Wikipedia:

Schwerpunkt rs=(1/M) Integral r dm=(1/M) Integral r p(r)dV, wobei sich die Anzahl der Integrale nach der Dimension des Körpers richtet!

Ist diese Formel der richtige Ansatz? Was bedeutet hier r? Und wenn ja welche muss ich neben? Die mit der Dichte oder die nur mit dem r enthalten. Ich bitte um Aufklärung da ich nichtw eiss welche ich nutzen muss. Das Mehrfachintegrieren mithilfe Funktionen ist mir bekannt!

Danke im vorraus!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich denke, bei den Integralen über einen Körper K bist du auf dem richtigen Weg

wobei der zweite Ausdruck jeweils für konstante Massendichte gilt.

Die Abhängigkeit von der Dimension habe ich durch den Index D angedeutet. Das Volumenelement ist jeweils der Symmetrie des Problems anzupassen. Die Massendichte darfst du wohl als konstant annehmen, da nichts anders gesagt wird.

r steht dabei für den Ortsvektor, den du im jeweils gewählten Koordinatensystem ausdrücken musst, also in kartesischen Koordinaten durch (x,y). Entsprechend musst du das Volumenelement ebenfalls in Koordinaten ausdrücken, by a) wäre das dx dy

HBX88X · Gast

Hey vielen dank, das hilft mir schon etwas.

Um einen Körper zu integrieren muss ich seine Mantelfläche kennen oder ? Also so aus dem Ärmel die Integrationsgrenzen ziehen geht nicht ?

Wenn ich nun z.b. den Körper b mithilfe eines Volumenintegral berechne, dann habe ich ja zunächst das Volumen nur oder ? Aber ist für den Schwepunkt nicht die Masse wichtig ? Ich hoffe du verstehst was ich meine, den mi teinem Volumenintegral berechne ich ja nur das Volumen, wobei ich ja das Massenmittelpunkt berechnen soll. Eine Dichte habe ich eigentlich auch nicht gegeben, oder kann ich von einer konstanten Dichte ausgehen ?

HBXX8X · Gast

Ok, Schritt für Schritt. Was muss ich als erstes machen um den Schwerpunkt zu bestimmen bzgl. a und analog ebend b. Wenn ich das genau weiss dann mach ich das als erstes!

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Hallo,

TomS hat Dir ja eigentlich schon die nötigen Formeln aufgeschrieben. Ich denke auch, dass man wohl von einer gleichmäßigen Dichte ausgehen kann, wenn nichts anderes angegeben ist.

Du musst dann also nur den letzten Term ausrechnen. Für die a) z. B.

Die Dreiecksfläche sollte kein Problem sein, oder?
Jetzt musst Du noch ein y(x) finden, so dass der y-Achsen-Abschnitt von b raus kommt und y(a)=0 ergibt.
Und Du musst Dir überlegen, wie ich das mit dem Vektor r meinen könnte...

Gruß
Marco