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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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 planck1858 Verfasst am: 10. Jan 2014 09:18 Titel: Ungedämpfter Oszillator |
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Hi,
lässt man eine Masse m an einer Feder um die Ruhelage (vertikal-)schwingen, so gilt für die Schwingungsgleichung für den harmonischen Oszillator:
Eine allgemeine Lösung ist
=C_1 \cdot cos(\omega_0 t)+C_2 \cdot sin(\omega_0 t))
Mich interessiert nun, wie man auf diese allgemeine Lösung kommt?
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. Jan 2014 09:27 Titel: |
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Das ist eine lineare DGL zweiter Ordnung, das bedeutet, dass du zwei linearunabhängige Lösungen hast. Jetzt weißt du entweder, dass Sinus und Kosinus sich bei zweifachem Ableiten bis auf das Vorzeichen reproduzieren oder du machst, wie bei linearen DGLs üblich, einen Expoentialansatz
=C \cdot \exp(\lambda t))
und berechnest die zwei Werte für  , welche dann als Linearkombination die allgemeine Lsg. bilden. |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 10. Jan 2014 09:27 Titel: |
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Zum harmonischen Oszillator gibt es doch massig Literatur.
Die DGL löst man mit dem Exponentialansatz und anschließend führt man die imaginären e-Funktionen auf die trigonometrischen Funktionen zurück. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 10. Jan 2014 09:36 Titel: |
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Ah okay, dass mit dem Exponentialansatz ist mir geläufig. Um die imaginären e-Funktionen auf die trigonometrischen Funktionen zurückzuführen, verwendet man doch die Euler'sche Gleichung, oder?
+i \cdot sin(\varphi))
-i \cdot sin(\varphi))
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2014 09:38 Titel: |
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Stereo meinte aber einen allgemeinen Ansatz mit ggf. komplexem lambda.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 10. Jan 2014 10:02 Titel: |
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Soll also heißen, dass lambda sowohl reell als auch imaginär sein kann. Sofern lambda reell ist, nehme ich also ganz einfach den Exponentialansatz ohne irgendwie zu überführen, oder?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 10. Jan 2014 10:12 Titel: |
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Lambda kann i.A. komplex sein, z.B. bei einer gedämpften Schwingung
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 10. Jan 2014 10:17 Titel: |
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Ich finde pressure hat das super erklärt. Setze seinen Ansatz in die DGL ein und stelle die Gleichung nach um. Dann siehst du ob die Lösung reell oder imaginär ist.
Zuletzt bearbeitet von stereo am 10. Jan 2014 10:34, insgesamt einmal bearbeitet |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 10. Jan 2014 10:28 Titel: |
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Ich danke euch erstmal, sollten noch Unklarheiten auftreten, melde ich mich. 
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
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| planck1858 Verfasst am: 10. Jan 2014 23:52 Titel: |
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Eine äquivalente Schreibweise ist ja auch noch
=A \cdot cos(\omega_0 \cdot t+\varphi))
Wie kommt man nun auf diese Gleichung?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
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| as_string Verfasst am: 11. Jan 2014 11:53 Titel: |
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Hallo,
ich hab jetzt zwar nicht den ganzen Thread verfolgt, aber eventuell könnte Dir diese Identität weiter helfen:
} = \cos{\alpha} \cos{\beta} \mp \sin{\alpha} \sin{\beta})
Gruß
Marco |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Jan 2014 12:13 Titel: |
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Oder du forderst ausgehend vom Exponentialansatz, dass deine allgemeine Lösung reell ist und machst noch zwei kleine Umformungen... |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 11. Jan 2014 12:25 Titel: |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: | | Oder du forderst ausgehend vom Exponentialansatz, dass deine allgemeine Lösung reell ist und machst noch zwei kleine Umformungen... |
Meinst du, dass ich mit Hilfe der Euler'schen Gleichung die imaginäre Gleichung in eine trigonometrische Gleichung umwandle?
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Jan 2014 12:41 Titel: |
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