Elliptisches Integral dritter Art

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Meine Frage:
Landau/Lifschitz Bd. 1, §14 "Bewegung im Zentralfeld", Aufgabe 1. Die Aufgabenstellung lautet:

"Integriere die Bewegungsgleichungen des sphärischen Pendels (Massenpunkt m, der sich auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius l im Schwerefeld bewegt)."

Bis zu diesem Punkt ist alles einfach (phi und Theta sind die Winkel aus den Kugelkoordinaten mit den üblichen Bezeichnungen, also mit phi als Azimut, bloß, dass Theta=0 als senkrecht nach unten definiert wird - ist aber für mein Problem nicht wesentlich):

mit

, also letztendlich

. Im Buch wird behauptet, dieses Integral führe auf ein elliptisches Integral dritter Art. Die allgemeine Form wäre ja

. Leider erschließt sich mir aber nicht, wie ich das Integral in diese Form bekomme.

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, erstmal ausmultiplizieren:

Allgemeine Form:

Spezielles Problem: Ich weiß leider nicht, wie ich mit dem Cosinus umgehen soll. Ich habe mir gedacht, vielleicht kann ich erstmal Cosinus-Terme sammeln und die dann mit einer Substitution in Sinus-Terme verwandeln... Das würde erstmal passen, weil der Sinus, wenn man alles unter die Wurzel zieht, nur in geraden Potenzen auftritt (Ich will also

nutzen).

Dumm nur, dass das ein paar Potenzen zu viel sind. Okay, das hätte ich auch gleich sehen können, dass das nichts werden kann, aber hinterher...

Doch was kann man hier machen?

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Das Verfahren, die beiden im LL aufgeführten Integrale, auf die kanonischen Formen der elliptischen Integrale zurückzuführen, ist ziemlich komplex. Insbesondere ist der im LL auftauchende

nicht identisch mit dem

in der trigonometrischen Normalform der elliptischen Integrale.

Als ersten Schritt macht man die Substitution

. Man erhält dann für die beiden Integrale im LL:

Dabei ist

ein Polynom 3. Grades in x. Mit dem Wissen, dass sich sich jedes Integral der Form

,

eine rationale Funktion von

und

,

, wobei

ein Polynom 3. oder 4 Grades in x ist, welches keine mehrfachen Nullstellen hat,

auf elliptische Integrale zurück führen lässt, ist schon mal klar, dass das für die obigen Integrale gilt. Für die weitere Umformung benötigt man dann die Nullstellen von

, mit denen sich dann geeignete Substitutionen machen lassen. Zumindest für

kann man im Magnus/Oberhettinger, Seite 366/377, die konkreten Substitutionen finden. Man hat dann die algebraische Normalform der elliptischen Integrale erreicht. Die Verwandlung in die trigonometrische Normalform ist danach einfach.