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Vinterblot
Anmeldungsdatum: 05.09.2012
Beiträge: 21
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 Vinterblot Verfasst am: 17. Jan 2014 12:54 Titel: Lagrange-Funktion: 3 verschachtelte Zylinder |
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Hallo!
Folgende Problemstellung
 http://imagizer.imageshack.us/v2/800x600q90/854/p76l.png
Es geht hier vorallem um Teil a)
Meine Überlegungen:
Ich muss die Lagrange-Funktion auf Basis der Trägheitsmomente aufstellen. Also habe ich erstmal allgemein das Trägheitsmoment eines dünnen Hohlzylinders hergeleitet, welcher um seine Längsachse (z-Achse) rotiert. Das ist laut meiner Rechnung
Mit Innenradius ungefähr Aussenradius, d.h. ich habe r = R gesetzt und so genähert.
Die Lagrangefunktion ist wie gewohnt
Jetzt wird der Zylinder nicht festgehalten, sondern rollt. D.h. die kinetische Energie T setzt sich zusammen aus einem Anteil für die Translation und einem Anteil der Rotation.
Würde man nur einen Zylinder betrachten, dann wäre die die Energie der Translation die Energie der Schwerpunktsbewegung, d.h.
Und die Energie der Rotation wäre
Bis hier hin bin ich noch einigermaßen sicher, jetzt wo es aber darum geht, das ganze für 3 verschachtelte Zylinder umzusetzen wirds dann kompliziert.
Ich brauche hier die zündende Idee, von welcher Richtung ich daran gehe dass System zu beschreiben.
Vielen danke für eure Mühen
Vinterblot |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 17. Jan 2014 13:26 Titel: |
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Also die kinetische Energie der unteren Walze hast du nun gegeben
Drücke die Energie nun durch den Drehwinkel  gemessen zur Vertikalen aus.
Für die untere Rolle verschwindet V.
Für die nächste Rolle musst du dann ebenfalls die kinetische Energie wie oben aufstellen unter Beachtung der translativen Bewegung der unteren Rolle, also bekommst du nun eine kinetische Energie ) , die Rotationsenergie wird nur durch  gemessen zur Vertikalen ausgedrückt.
Für das Potential musst du die Änderung des Höhenunterschiedes in abhängigkeit des Winkels darstellen und die Masse der dritten Rolle mitbeachten, da sie mit angehoben wird.
Vielleicht reicht dir das schon um die Aufgabe vollständig zu lösen. |
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Vinterblot
Anmeldungsdatum: 05.09.2012
Beiträge: 21
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| Vinterblot Verfasst am: 17. Jan 2014 13:37 Titel: |
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Ah Richtig, die Potentielle Energie. Darüber war ich gestern auch gestolpert, weil ich mir dachte, dass bei einer Bewegung über den Boden natürlich kein V vorhanden sein kann.
Aber müsste dass nicht für alle 3 gelten? Oder besitze ich durch die Rollbewegung des äusseren Zylinders noch ein V neben m*g*h für die inneren Zylinder?
Über den Rest muss ich mir erstmal Gedanken machen. Danke soweit  |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 17. Jan 2014 13:44 Titel: |
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| Zitat: | | Für die untere Rolle verschwindet V. |
Damit meinte ich, das die Gewichtskraft nicht zum Potential beiträgt bei einer Änderung von phi_1
Im Fall von 2 Rollen:
Wird aber der Schwerpunkt von Rolle 2 entlang der Waagerechten gegen den Schwerpunkt von Rolle 1 verschoben, so rollt Rolle 2 in Rolle 1 zwangsläufig "die Wand herauf", d.h. die innere Rolle gewinnt an potentieller Energie, die beachtet werden muss. |
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Vinterblot
Anmeldungsdatum: 05.09.2012
Beiträge: 21
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| Vinterblot Verfasst am: 17. Jan 2014 16:15 Titel: |
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Das heißt, ich betrachte nicht den Schwerpunkt des Systems als ganzes, sondern differenziere noch zwischen den Schwerpunktsbewegungen der einzelnen Zylinder? |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 17. Jan 2014 16:35 Titel: |
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Jein.
Du könntest den Schwerpunkt des Gesamtsystems im Potential betrachten.
Aber das Aufstellen der Gesetzmässigkeit der Schwerpunktspunktsbewegung in Abhängigkeit der Winkel, sollte äquivalent zu den Einzelbetrachtungen sein.
Ich schlage vor du stellst die Lagrangegleichung zunächst für 2 Rollen auf um einen Einblick zu bekommen, danach erweiterst du das System um die dritte Rolle. |
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Vinterblot
Anmeldungsdatum: 05.09.2012
Beiträge: 21
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| Vinterblot Verfasst am: 17. Jan 2014 18:21 Titel: |
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Okay, mal sehen ob ich es nun korrekt zusammenkriege für 2 Zylinder:
Das Trägheitsmoment eines dünnen Hohlzylinders (R = r) beträgt ganz allgemein
Damit lassen sich nun Kinetische Energie T und Potentielle Energie V des äusseren Zylinders ermitteln, wobei
ist.
Die Energie der Translation ist die Energie der Schwerpunktsbewegung, also ganz allgemein
Die Energie der Rotation bestimmt sich aus dem Trägheitsmoment
Wofür sich für T ergibt
Jetzt will ich das (allgemeine) Omega aber noch durch die tatsächliche Winkelgeschwindigkeit ausdrücken. Der Zylinder führt eine Eigenrotation um Phi aus. Entsprechend vereinfacht sich die Formel für die Eigenrotationsgeschwindigkeit mit Eulerwinkeln
 + \dot{\gamma} = \dot{\gamma} = \dot{\phi}
<br />
)
Und entsprechend
mit V = 0
------------------------------------------------------------------
Jetzt die Erweiterung zum zweiten Zylinder.
Die kinetische Energie bestimmt sich analog zum ersten Zylinder, wobei jedoch beachtet werden muss, dass sich die Translationsgeschwindigkeit des zweiten Zylinders zu dem des ersten addiert. Ausserdem ist natürlich der Radius ein anderer, nämlich R/2 Daher bekommen wir für
T
^2(\dot\phi_1 + \dot\phi_2)^2
<br />
)
Wie du schon sagtest, haben wir nun aber ein V, nämlich m * g * h, wobei h von der waagerechten Schwerpunktverschiebung des zweiten Zylinders zum ersten abhängt => Er fährt am inneren des Zylinders die Wand hoch
)
<br />
\Rightarrow V = m * g * \frac{R}{2}(1-cos({\phi_1}))
<br />
)
Und daraus folgt für zwei Zylinder
^2(\dot\phi_1 + \dot\phi_2)^2 - m * g * \frac{R}{2}(1-cos({\phi_1})
<br />
)
Um das ganze jetzt auf 3 Zylinder zu erweitern wiederhole ich das ganze nochmal mit dem letzten Zylinder.
Ist das alles so tauglich oder hab ich noch etwas übersehen? |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 18. Jan 2014 18:43 Titel: |
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Also beim lesen deines Beitrages Gestern Abend habe ich mal etwas genauer über das Aufstellen der Gleichungen nachgedacht und mir sind dabei ein paar Schwierigkeiten aufgefallen, die mein spontanes bildlisches Vorstellungsvermögen überschreiten.
Ich bin leider noch nicht dazu gekomme mch mit eine Blatt hinzusetzen und mir das Problem mal genauer anzuschauen.
Ein Problem, das ich dabei gesehen habe ist folgendes:
Betrachtet man die innere Rolle in der äußeren Rolle als fest angeheftet und dreht man die äußere Rolle, dann hat man eine Schwerpunktsbewegung der inneren Rolle und zusätzlich eine Rotationsbewegung.
Da später ohnehin eine Kleinwinkelnäherung gemacht wird, kann man das möglicherweise sinnvoll nähern. Aber um darüber vernünftige Aussagen zu machen, muss ich mir die Geometrie dazu mal aufzeichnen. Ich hoffe ich finde morgen dazu Zeit. |
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Vinterblot
Anmeldungsdatum: 05.09.2012
Beiträge: 21
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| Vinterblot Verfasst am: 19. Jan 2014 14:31 Titel: |
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Das wäre nett, wenn an dieser Stelle noch Unklarheiten bestehen wäre es sinnlos weiter zu machen. |
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