Hamilton-Mechanik und kanonischer Impuls

Vinterblot · Anmeldungsdatum: 05.09.2012 Beiträge: 21

Hallo!

Ich versuche mich grade erstmalig an einer Aufgabe zum Hamiltonformalismus.

Ich habe eine Lagrange-Funktion mit zwei Winkeln als verallgemeinerte Koordinate. Wenn ich nun den kanonischen Impuls bilde, so tauchen beide Winkelgeschwindigkeiten in jeweils beiden Impulsen auf.
D.h. Mein Phi1 ist abhängig von Phi2 und mein Phi2 abhängig von Phi1.

Macht das Sinn?
Kann ich da wie bei einem Gleichungssystem eine Unbekannte rauswerfen?
Ignoriere ich das und nehme es als gegeben hin?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ja, das kann durchaus sein.

Wenn im einfachsten Fall eine rein quadratische Abhängigkeit von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten vorliegt

dann kannst du diese Gleichung ja auflösen (vorausgesetzt, A ist invertierbar)

und kannst damit die Hamiltonfunktion ableiten.

Vinterblot · Anmeldungsdatum: 05.09.2012 Beiträge: 21

Okay, jetzt sagst du bereits, dass das möglich ist.

Durch Rücksprache mit einem Kommilitonen hab ich jetzt eigentlich den Eindruck gewonnen, dass die beiden Variablen dann ja nicht mehr voneinander unabhängig sein können, d.h. ich hätte die verallgemeinerten Koordinaten nicht korrekt gewählt.

Kannst du dieses Missverständnis auflösen: Warum können die kanonischen Impulse gegenseitig von der jeweils anderen verallgemeinerten Koordinate abhängig sein, die Koordinaten jedoch nicht?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Was spricht denn gegen eine Lagrangefunktion der Form

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Im allgemeinen Fall hängen die generalisierten Impulse wegen

doch immer von allen generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten ab. Zum Aufstellen der Hamiltonfunktion müsstest du also i.A. alle Impulse aufstellen und dann nach allen Geschwindigkeiten auflösen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich denke, ein Beispiel wäre ein freies Teilchen auf einer deformierten Kugeloberfläche.