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Margarita90
Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61
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 Margarita90 Verfasst am: 29. Jan 2014 22:53 Titel: Lagrangefunktion aufstellen |
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Hallo ihr Lieben,
folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:
Gegeben sind 2 Partikel (Punktmassen, Masse=1) im  .
Partikel Nr. 1 bewegt sich entlang eines Kreises in der horizontalen Ebene, parametrisiert durch
=r(\cos \theta, \sin \theta),~~r \geq 0, \theta \in [0,2 \pi )) .
Der 2. Partikel bewegt sich auf der Kurve
=(r \cos \phi ,r \sin \phi, h \sin \phi),~~r,h \geq 0, \phi \in [0, 2 \pi ))
Nun soll angenommen werden, dass die Partikel über eine elastische Kraft mit Kontante  interagieren. Das Gravitationsfeld wird vernachlässigt.
Aufgabe ist es, die Lagrangefunktion dieses Systems aufzustellen.
Da es sich hier um eine mathematische Vorlesung handelt, kenne ich mich mit den Hintergründen nicht so richtig aus... was bedeutet die Lagrangefunktion eigentlich?
Bei Wikipedia steht, sie sei die Differenz von kinetischer und potentieller Energie eines Systems... Allerdings weiß ich nicht, was ich mit dieser Erkenntnis anfangen soll. Keine Ahnung, wie ich diese Energien in dem zugrundeliegenden Beispiel bestimme.
Wer weiß Rat?
Lieben Dank im Voraus! |
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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| bassiks Verfasst am: 30. Jan 2014 06:58 Titel: |
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1.) Kinetische Energie:
Ich nehme mal an wir sind hier im nicht relativistischen Fall (v<<c). Die kinetische Energie ist dann gegeben durch
wobei der Punkt die Zeitableitung bedeutet (hier Produktregel und Kettenregel benutzen!).
2.) Potentielle Energie:
Da die Gravitation vernachlässigt wird, und auch ansonsten keine Ladung etc. vorhanden ist, ist die einzige Kraft die wirkt eine "elastische" Kraft. Ich nehme mal an dass es sich hierbei um eine Kraft der Form
<br />
)
handelt (in deinem Fall ist |x| der Abstand zwischen den beiden Teilchen). Eine solche Kraft ist das Resultat eines Potentials welches wie folgt zusammenhängt:
Damit folgt für das Potential:
=-\frac{k|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2}{2}
<br />
)
Damit solltest du nun in der Lage sein die Lagrangefunktion zu bestimmen.
EDIT: Ich hab noch etwas editiert damit man sieht in welche Richtung die Kraft wirkt und da war auch ein Fehler drin. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 30. Jan 2014 11:26 Titel: |
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| bassiks hat Folgendes geschrieben: | 2.) Potentielle Energie:
...
Damit folgt für das Potential:
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Der Vorteil des Lagrangeformalismus ist eigtl. gerade der, dass man die Kraft NICHT zu kennen braucht, sondern dass man direkt den Ansatz
benutzt. Die Kraft F erscheint dann als abgeleitete Größe in den Euler-Lagrange-Gleichungen.
Einer harmonischen Kraft liegt das Potential des harmonischern Osillators zugrunde. Dieses lautet
=\frac{k}{2}|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^2
<br />
)
=> Vorzeichen korrigiert.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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| bassiks Verfasst am: 30. Jan 2014 13:22 Titel: |
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Danke.
PS: Hab mich auch gewundert warum die Kraft gegeben ist. |
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Margarita90
Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61
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| Margarita90 Verfasst am: 31. Jan 2014 14:37 Titel: |
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Hallo ihr zwei,
vielen Dank für eure Hilfe! 
Ich hab mit der kinetischen Energie angefangen. Die ist doch
}, \dot x^{(1)} \rangle + \langle \dot x^{(2)}, \dot x^{(2)} \rangle)) mit dem 1. Partikel }) und dem 2. Partikel }) .
Und jetzt zur potentiellen Energie. Wenn die vom Abstand der zwei Partikel abhängt und die Partikel unterschiedliche Dimensionen haben, kann ich das doch eigentlich gar nicht bestimmen? Zumindest ist in der Aufgabenstellung nicht gegeben, dass sich der 1. Partikel in der ) -Ebene befindet und somit }=0) ist.
Meint ihr, ich kann / soll das so annehmen? Oder ist vielleicht sowieso falsch gedacht?
Viele Grüße! |
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Margarita90
Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61
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| Margarita90 Verfasst am: 01. Feb 2014 18:06 Titel: |
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Hey Leute,
habt ihr vielleicht noch ne Rückmeldung für mich? Eine Info zu der Dimensionssache bzgl. des Abstandes wär super!!! |
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bassiks
Anmeldungsdatum: 11.08.2010
Beiträge: 194
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| bassiks Verfasst am: 01. Feb 2014 18:52 Titel: |
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Nun ja, wenn die Teilchen interagieren würde es Sinn machen wenn sie sich beide im befinden. Würde also z=0 wählen für das Teilchen in der Ebene und ich kann mir auch nicht vorstellen dass das nicht so gemeint ist. |
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Margarita90
Anmeldungsdatum: 30.11.2009
Beiträge: 61
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| Margarita90 Verfasst am: 02. Feb 2014 13:04 Titel: |
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Okay... dann sollte ich das jetzt hinbekommen haben.
Wenn ihr Lust habt, könnt ihr gern mal schauen, ob ich mich auch nicht verrechnet habe:
+h^2 \cos^2(\phi) \dot \phi^2))
und
)+\frac{k}{2}h^2 \sin^2(\phi))
Danke nochmal für eure Hilfe. War letztendlich gar nicht so schwer, aber ich kannte solche Aufgaben noch nicht und wusste einfach nicht, was eigentlich zu tun ist. Ihr habt mir sehr geholfen! |
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