Warum liefern schwarze Strahler kontinuierliche Spektren?

max_doering · Anmeldungsdatum: 13.03.2011 Beiträge: 50

Hallo,
ich hab mich heute gefragt, warum das Planck'sche Strahlungsgesetz eigentlich ein kontinuerliches Strahlungsspektrum liefert, und mich durch Internet, diverse einschlägige Lehrbücher (Demtröder, Haken-Wolf und co.) und schlussendlich vor lauter Verzweiflung auch durch Plancks Veröffentlichung vom 14. Dezemeber 1900 gewälzt Augenzwinkern

.

Grob zur Herleitung:

Man bekommt die spektrale Strahlungsdichte u als Produkt von spektraler Modendichte n und Energie-Erwartungswert <E> einer Mode:

Der Energieerwartungswert folgt aus der Boltzmann-Statistik und der Anwendung der Quantisierungshypothese.

Soweit so gut...

Ich glaube mein Problem liegt eigentlich beim klassischen Problem Augenzwinkern

: die Berechnung der spektralen Modendichte!

Die meisten Lehrbücher/Seiten gehen hier von einem quadratischen Hohlraumstrahler aus und berechnen für ein Frequenzintervall

(siehe Demtröder, Band 2 oder einfach hier) die Anzahl erlaubter Wellenvektoren(/Punkte) pro Volumen im k-Raum. Dann wird davon ausgegangen, dass die Abmessungen des Schwarzen Körpers groß sind gegen die entsprechende Grenzwellenlänge (Ist die Grenzwellenlänge nicht durch die Kantenlänge des Schwarzen Strahlers vorgegeben!? .. nämlich die doppelte Kantenlänge, damit wäre die Näherung eigentlich unzulässig...) und man kommt auf

Und diese Funktion ist nun kontinuierlich in

. Meinem intuitivem Verständnis nach dürfte dies aber nicht so sein, denn in der unmittelbaren Umgebung einer erlaubten Frequenz

dürften keine Schwingungsmoden mit Frequenz

existieren. (denn

ist proportional zu

) Die spektrale Modendichte müsste hier 0 sein.

Sehe ich es also richtig, dass die kontinuität des Spektrums nur für hinreichend kleine Wellenlängen gilt, dass es also eigentlich diskret ist? (da die Wellenlänge ja nur diskrete, halbzahlige Vielfache der Kantenlänge des schwarzen Strahlers annehmen kann).

Vielleicht hat da ja jemand ein wenig mehr klarheit im Kopf als ich. Würde mich über ein paar Antworten/Meinungen/Beiträge freuen!

Freundliche Grüße.
Max.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21595

Die kontinuierliche Form gilt tatsächlich nur im Grenzfall unendlich großer Länge L.