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Steffi878
Anmeldungsdatum: 24.04.2014
Beiträge: 8
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 Steffi878 Verfasst am: 24. Apr 2014 11:07 Titel: Teilchen im homogenen Magnetfeld |
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Meine Frage:
Hallo habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Ein Teilchen der Masse m und Ladung q bewege sich in einem konstanten und homogenen Magnetfeld  .
Das Magnetfeld zeige in die  Richtung. Die Kraft die auf das Teilchen wirkt heisst Lorentskraft und ist gegeben durch  . Die Anfangsbedingungen seien =\vec{r}_0 ) und =\vec{v}_0 ) .
Vorweg es gibt 9 Teilaufgaben, fangen wir mit a und b an.
a) Wie lautet die Bewegungsgleichung des Teilchens?
b) Zeigen SIe, dass sowohl die kinetische Energie als auch der WInkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor  und dem Magnetfeld erhalten sind.
Meine Ideen:
a)Die Bewegungsgleichung wird für E=0 und B=const
= q v_a(t)\times B )
Das Koordinatensystem wird so gewahlt, dass die z-Achse in Richtung  weist  B 
Dann ist:
= \frac{q_a \cdot B}{m_a}\cdot v_a(t)\times e_z )
Die Geschwindigkeit kann nun aufgeteilt werden in eine parallel und eine senkrecht zu 
=v_{az}(t)e_z+v_{a\perp}(t) )
b) Da die Kraft stets senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt, andert sie den Betrag der Geschwindigkeit nicht und auch die kinetische Energie bleibt konstant(Energieerhaltungssatz).
Aber wie soll ich das ZEIGEN? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2014 11:44 Titel: |
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Du kannst drei DGLs für die drei Komponenten aufstellen und lösen
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Steffi878
Anmeldungsdatum: 24.04.2014
Beiträge: 8
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| Steffi878 Verfasst am: 24. Apr 2014 12:32 Titel: |
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warum muss ich dafuer DGL's aufstellen?
Bei dem Aufgabenteil c, welchen ich noch nicht gepostet habe, soll man eine DGL erster Ordnung fuer den Geschwindigkeitsvektor  aufstellen und dafur vorher die Bewegungsgleichung integrieren.
Bei a und b steht nichts von DGL's. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2014 12:53 Titel: |
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Du fragst "...wie soll ich das ZEIGEN?"
Na, z.B. indem du die DGL löst ;-)
Es gibt aber - zugegebenermaßen - noch eine andere Möglichkeit.
Z.z. ist, dass |v| bzw. v² konstant ist; dazu zeigst du mittels der Bewegunsggleichung, dass
gilt.
Dann ist z.z., dass der Winkel zwischen v und B konstant ist; wg. konstantem|v| kannst du dazu wieder mittels der Bewegungsgleichung zeigen, dass
 = 0)
gilt.
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Steffi878
Anmeldungsdatum: 24.04.2014
Beiträge: 8
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| Steffi878 Verfasst am: 25. Apr 2014 20:47 Titel: |
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Okay hmmm....
Also habe mir mal was zusammen gereimt:
wegen  ist  dh die Teilchenbewegung parallel zum Magnetfeld wird nicht beeinflusst. Für die mit  , der Geschwindigkeit senkrecht zum Magnetfeld verbundene kin. Energie  erhaltet man:= m\vec{v}_\perp \dot{\vec{v}}_\perp = q \vec{v}_\perp \cdot \vec{v}_\perp \times \vec{B} = 0 ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 25. Apr 2014 21:04 Titel: |
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einfacher
Es gilt
Und aus der DGL für die Lorentzkraft folgt
Eingesetzt liefert das
 )
Der letzte Ausdruck (Spatprodukt) ist jedoch Null.
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 25. Apr 2014 21:09 Titel: |
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Alternativ schlage ich
dW = Fds = F*v*dt vor. |
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Steffi878
Anmeldungsdatum: 24.04.2014
Beiträge: 8
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| Steffi878 Verfasst am: 25. Apr 2014 22:49 Titel: |
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So nun gut, sieht wirklich besser aus 
Danke schon mal dafür.
c) nun soll man die besagte DGL 1.Ord. für den Geschwindigkeitsvektor r auftsellen und, dafür sollte man die Bewegungsgleichung zuerst einmal integrieren.
Also habe ich mal etwas überlegt:
integrieren:
yB_z+C_x )
Wegen Anfangsbed. folgt: 
B_z(\frac{q}{m})\dot{x} B_z=\frac{-q^2{B_z}^2}{m^2}x )
Ist jedoch eine DGL zweiter Ordnung. Ich glaube nur das integrieren hätte gereicht. Oder? (falls es überhaupt richtig ist)
LG |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 26. Apr 2014 00:04 Titel: |
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Nach Newton werden Bewegungen durch DGL 2. Ordnung beschrieben, daher ist dein zweites Ergebnis plausibel.
Ausserdem haben diese (nach Axiom expliziten) Differentialgleichungen die Form
 = f(x, \dot x, t))
in ener Dimension. Das lässt sich dann ganz natürlich auf n = 3 Dimensionen erweitern, ebenfalls nach Newton, indem man die Zahl x durch den Vektor  ersetzt und f durch eine Vektorwertige Funktion  .
Für die Einträge der Vektoren gilt dann:
 = f_i(\vec x, \dot {\vec x}, t))
Tauchen nun bspw. im Eintrag i = 1 die Werte der Koordinaten x_2 (=y) oder x_3 (= z) als Variablen der Funktion f_i auf, dann ist durch die Gleichung mit i = 1 eine Abhängigkeit zwischen den Koordinaten gegeben, das nennt man dann Kopplung und die DGL heisst dann gekoppelte DGL.
Diese Abhängikeit/Kopplung hast du bei der naiven Integration allerdings misachtet. y ist in em falle nicht einfach nur ein Funktion der Zeit, sondern auch eine Funktion von x. Integriert man dx/dt naiv, schaut man sich die Funktionen zu verschiedenen Zeiten an, d.h. zu verschiedenen x-werten, die wiederum zusätzlich zur zeitlichen Änderung eine zusätzliche (räumliche) Änderung des y hervorrufen.
D.h. man driftet beim Integrieren von der simplen "eindimensionalen x-Richtung" ab, d.h. es entsteht eine Kurve im Raum.
Durch eine neue, geeignete Basis, entkoppelt man (falls überhaupt möglich) dann die DGL, sodass jede Koordinate auf die gewöhnliche eindimensionale Form
zurückgeführt wird, wo auch die bekannten Rechenregeln für DGLs anwendbar sind, zB. beide Seiten Integrieren  Hier treten also keine Abhängigkeiten unter den verschiedenen Variablen auf, d.h. die DGL wurde dadurch entkoppelt.
Lange Rede kurzer Sinn:
Man muss mehrdimensionale DGLs erst völlig entkoppeln um sie wie gewöhnliche 1-dim DGLs separat zu behandeln.
D.h. man muss y, y' durch x und x' ausdrücken, das wurde in diesem einfachen Fall durch gegenseitiges einsetzen der Gleichungen gemacht, wodurch sie entkoppelt wurden. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2014 08:24 Titel: |
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| Steffi878 hat Folgendes geschrieben: | | c) nun soll man die besagte DGL 1.Ord. für den Geschwindigkeitsvektor r auftsellen und, dafür sollte man die Bewegungsgleichung zuerst einmal integrieren. |
Die DGL für den Geschwindigkeitsvektor v liegt bereits vor, und sie ist erster Ordnung; s.o.
Du schreibst aber vom den Geschwindigkeitsvektor r. r bezeichnet normalerweise den Ortsvektor. Verwechselst du da was?
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Steffi878
Anmeldungsdatum: 24.04.2014
Beiträge: 8
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| Steffi878 Verfasst am: 26. Apr 2014 08:42 Titel: |
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Danke für so eine präzise Antwort. Vom Prinzip her habe ich verstanden was falsch ist, obs in der Umsetzung genauso ist werden wir dann sehen:
=0)
integrieren:
Setze t=0 dann
=C_1=v_0)
Also
Nochmal integrieren
=v_0t+C_2)
Einsetzen =C_2=:z_0
<br />
=> z(t)=v_0(t)+z_0 )
=\frac{B_zq}{m}\cdot\dot{x}(t))
Beide Seiten nach t Ableiten:
=\frac{B_zq}{m}\ddot{z}(t))
man hat noch:
=-\frac{B_zq}{m}\cdot{\dot{y}}(t))
Einsetzen in die obrige Gleichung:
=-\frac{B_z^2q^2}{m^2}\cdot\dot{y}(t))
Setze =\dot{y} ) dann hat man:
=-\frac{B_z^2q^2}{m^2}\cdot s(t) )
soooo ich hoffe hoffe hoffe es ist jetzt richtig :/ |
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Steffi878
Anmeldungsdatum: 24.04.2014
Beiträge: 8
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| Steffi878 Verfasst am: 26. Apr 2014 08:47 Titel: |
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Die Aufgabe lautet:
Leiten Sie eine DGL erster Ordnung für  her.
Hinweis: Integrieren Sie die Bewegungsgleichung einmal.
@TomS |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2014 08:57 Titel: |
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Also, deine Bewegungsgleichung lautet
mit
Nun ist
Eine DGL erster Ordnung in  ist also eine DGL erster Ordnung in v, d.h.
ist m.E. die gesuchte DGL erster Ordnung in v.
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Steffi878
Anmeldungsdatum: 24.04.2014
Beiträge: 8
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| Steffi878 Verfasst am: 26. Apr 2014 09:33 Titel: |
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Ich denke du hast recht..... ist irgendwie einleuchtend. Schön mache ich mir die Aufgabe selbst zur Hölle. Es gibt auch nur zwei Punkte von 20, bei 9 Teilaufgaben (a-i), da sollte so eine kurze Antwort richtiger sein
Danke
d) Zeigen Sie dass  die Komponente von  senkrecht zum Magnetfeld, in einer Ebene senkrecht zum Magnetfeld liegt und von konstanten Betrag ist. Zeiden Sie, dass  , die Komponente parallel zum Magnetfeld, ein konstanter Vektor ist. [2Punkte]
Habe die Aufgabe 1 zu 1 abgeschrieben.
Leider bin ich momentan noch etwas ratlos.
Werde mir gedanken darüber machen, aber erst heute Abend wieder Antworten.... muss ein bissl Arbeiten -.- |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 26. Apr 2014 17:34 Titel: |
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Welche Eigenschaften erfüllen denn die neuen Vektoren die den Alten erzeugen.
Wie könnte man eine Zerlegung mittels Differentialoratoren aufschreiben, und wie kann man diese Gleichungen dann für die Behauptungen verwenden?
Sollte ein 4 Zeiler sein... |
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Steffi878
Anmeldungsdatum: 24.04.2014
Beiträge: 8
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| Steffi878 Verfasst am: 26. Apr 2014 20:42 Titel: |
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Hmmm irgendwie weiß ich nicht so recht.
Also was ich noch von Experimentalphysik weiß:
Bewegen sich Teilchen parallel zu den Feldlinien des magnetischen Feldes (alpha=0) so ist die Lorentz Kraft 0.
Die Teilchen werden in ihrer Bewegung nicht beeinflusst.
Bei senkrechten Einfluss in das Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft als Radialkraft. Die Teilchen bewegen sich auf Kreisbahnen.
Also muss man mit dem Differentialoperator Rotation verwenden?
puhh 2 Stunden ohne nen wirklichen Peil.
Irgendwie hat unsere Vorlesung auch nicht wirklich was mit den Aufgaben zu tun. Machen erst nächste Woche Differentialoperatoren in theoretischer Physik. Hatte das zwar schon in Experimentalphysik, aber wie der Name schon sagt, nicht so theoretisch und genau das ist auch das was ich im Netz dazu finde -.-
schon etwas deprimierend  |
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