Frage zu einem einfachem Massendreieck

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Zitat Aufgabenblatt:"

Drei gleiche Massen m befinden sich in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge d.

a) Skizzieren Sie die Kraftlinien des resultierenden Schwerefelds in der Dreiecksebene.

b) In welchem Punkt in der Dreiecksebene ist die Feldstärke 0 ?

c) Wie groß ist das Gravitationspotential in diesem Punkt ?"

Zitat Ende.

Ansatz:

***(Ich gehe mal davon aus dass die Massen FIXIERT sind sonst hätte ich ja folgendes Problem... http://de.wikipedia.org/wiki/Dreik%C3%B6rperproblem )

a) Versuch der Skizze siehe Anhang.

b) Genau im Mittelpunkt des Dreiecks, oder? Weil sich ja die Gravitations - Kraftvektoren gegenseitig dort aufheben.

(Frage: In der Unendlichkeit wäre die Feldstärke auch null, oder?)

c)

Maximal, oder? Weil ja dort alle drei Massen auf die Probemasse wirken..., oder?

Oder ist es auch null, weil irgendwie alle drei Massen gleichmässig an der Probemasse ziehen???

(**Frage: Muss ich hier irgendwie mit Nablas rumhantieren?)

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Alternative zu Abschnittt a)

JohnnyBGood · Anmeldungsdatum: 02.04.2014 Beiträge: 33

Ich habe eine ähnliche Aufgabe zu lösn

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, in der Mitte wäre ein Sattelpunkt, also Feldfreiheit.
Das Potential ist da aber (eigentlich überall) trotzdem negativ. Letztlich ist das aber Definitionssache. Der 0-Punkt von einem Potential ist ja letztlich frei wählbar. Man nimmt hier aber die 0 im Unendlichen und damit ist dann bei Gravitation jeder Ort negativ.
Wenn Du das Potential ausrechnen willst, musst Du die drei einzelnen Potentiale zusammen rechnen. Wie ist der Abstand in einem solchen Dreieck von der Mitte bis zu den Ecken? Das ist dann für jede einzelne dein jeweiliges R im Nenner.

Gruß
Marco

PS: Ach ja: Das Bild mit den Äquipotentiallinien ist Käse: Du kannst da nicht für jede Masse einzeln irgendwelche Kreise einmalen! Es ergibt ja ein gemeinsames Potential, was die Summe (Stichwort: Superposition) der drei Potentiale ist.
Ich habe das mal versucht zu Plotten, aber das Ergebnis ist nicht so besonders geworden...

JohnnyBGood · Anmeldungsdatum: 02.04.2014 Beiträge: 33

Vielen Dank smile

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Danke!!

Aber das mit den Äquipotentiallinien ist ja eigentlich auch egal. "Habe es mir nochmal angeschaut" und herausgefunden dass da ja nach Kraftlinien gefragt war, welche immer senkrecht zu diesen Äquipotentiallinien stehen, eigentlich nach so etwas wie im ersetn Bild gefragt ist. (Stichwort Gradient) Tanzen

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, richtig. Ich wollte nur vermeiden, dass Du mit Deinem Äquipotentiallinien-Bild zu irgendeinem Tutor oder Prof oder so läufst... LOL Hammer

Äquipotentiallinien unterschiedlicher Potentiale dürfen sich natürlich nicht kreuzen, sonst hätte ein Punkt ja gleichzeitig unterschiedliche Potentiale.

Zu dem anderen Bild: Das gefällt mir schon deutlich besser. Allerdings finde ich, sollte eine Sache noch deutlicher raus kommen. Wenn man sich z. B. entlang der senkrechten durch die Mitte das genauer anschaut, wie da der Feldverlauf sein wird. Z. B. wenn Du genau in der Mitte der unteren beiden Ladungen bist. Dann heben sich die Feldvektoren der beiden unteren Ladungen ja gegenseitig auf, aber in Richtung der dritten Ladung ist immer noch ein Feld da. In dieser Richtung wird es ja erst auch noch kompensiert, wenn man ganz in der Mitte ist. Wahrscheinlich wird also, wenn man das Feld entlang dieser Geraden mal auftragen würden, dort ein Sattelpunkt sein, schon in dieser einen Dimension.

Lange Rede kurzer Sinn: Du musst Dir die Pfeile in den Bereichen zwischen zweier Ladungen nochmal genauer anschauen. Die dritte Ladung ist ja immer noch da und wenn sich die Felder zweier Ladungen aufheben, dann ist eben das der dritten dominierend....

Ich habe das mit den Äquipotentiellinien noch mal etwas besser hin bekommen. Die Vektoren müssen ja immer senkrecht auf den Linien stehen. Vergleiche das mal mit Deinen Vektorpfeilen.

Gruß
Marco

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Danke!!!! Du bist der Beste!!!
Rock

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Es wird noch besser! Big Laugh

Ich habe mal die Kraft entlang der y-Achse geplottet. Also wenn ich mich durch die zwei unteren durch bewege und auf die obere zu.
Da bin ich also genau zwischen den beiden Massen bei y=-1/3*sqrt(3)~-0,577 (hab ich halt so festgelegt, dass die Seitenlänge des Dreiecks gerade 2 ist) und die obere Masse ist dann bei y=+2/3*sqrt(3)~1,155. Ich habe entsprechend senkrechte Linien eingezeichnet.
Das ist also doch kein Sattelpunkt in dieser einen Dimension! Interessant...

Sprich: Kurz vor dem Mittelpunkt (also knapp unterhalb des Mittelpunkts) hast Du sogar eine Kraft, die nach unten zeigt! Sonst zeigt sie immer nach oben.

Das Bedeutet aber auch, dass es nicht nur den Mittelpunkt gibt, der Kräftefrei ist, sonder noch mindestens drei weitere Stellen in der Nähe des Mittelpunktes. Das musst Du noch genauer untersuchen, denke ich...

Gruß
Marco

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Naja, keine Ahnung, was genau in der Aufgabe jetzt gemeint ist... Jedenfalls sind es wohl vier Punkte insgesamt, an denen die Kraft verschwindet. Insofern würde ich das auch schreiben.
Gut wäre es, wenn man den Abstand von der Mitte noch ausrechnen könnte. Im Prinzip ist es ja die Nullstelle, die in meinem Funktionsgraph oben auftritt. Mal so drauf geschaut scheint sie mir in etwa auf halber Strecke zwischen der Verbindungslinie der beiden unteren Ladungen und der Mitte zu sein.
Ich hab's jetzt selbst noch nicht gemacht, aber ich würde mal schauen, wie aufwendig es wäre, diesen Abstand auszurechnen. Vielleicht geht es ja einfach, wer weiß...

Gruß
Marco

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Wenn man das Koordinatensystem so wählt dass der Ursprung auf einer der Massen liegt, dann geht das mit pithagoras relativ schnell. Mann erhält dann für den Abstand von einer der Massen bis zum Dreiecksmitelpunkt (ich hoffe ich habe mich nicht verechnet) d*sqrt(13/16)
Rock

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Ich glaube irgendwie nicht, dass das stimmen kann. Die Höhe in dem Dreieck ist ja

Ich denke, die drei Punkte müssen auf jeden Fall innerhalb des Dreiecks liegen, das wäre bei Deinem Ergebnis aber nicht der Fall (sofern d auch wirklich die Kantenlänge des gleichseitigen Dreiecks ist).

Ich bekomme da auch einen recht komplizierten Term raus... Wobei es natürlich gut sein kann, dass ich mich auch verrechnet habe.

Gruß
Marco

SirZampano · Anmeldungsdatum: 26.04.2014 Beiträge: 21

Kann man den Abstand zum Mittelpunkt nicht einfach über die im Bild angegebenen Zusammenhänge berechnen?

Man will ja im Grunde die Hypotenuse haben und hat auf jeden Fall einen Winkel von 30°, pro Dreieck der Winkelhalbierenden.
Im Fall des Radius' des Innenkreis nimmt man den Sinus und im anderen Fall den Kosinus.