Wellenfunktion: Normieren und W-Keit(Zustand) bestimmen?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hallo,

folgende Aufgabe macht mir Kopfzerbrechen. Könnt ihr mir helfen?

Der Operator hat genau zwei orthonormierte Eigenzustände |φKopf⟩ und |φZahl⟩ mit den zugehörigen Eigenwerten 1 und 0.
a) Gegeben ist die Wellenfunktion |ψ⟩ = (6/5) |φKopf ⟩ + (8/5) |φZahl⟩. Normieren Sie die Wellenfunktion.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf
Kopf(1) zu erhalten? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Zahl(0) zu erhalten? Wie hoch ist der Erwartungswert?

b) Der Eigenzustand |φKopf⟩ sei nun durch den 2D Vektor (1,0)^T dargestellt.
Wie lautet dann die Darstellung von |φZahl⟩? Wie lautet in dieser Darstellung die normierte Wellenfunktion aus a)? Welche Matrix A repräsentiert in dieser Darstellung den Operator? Berechnen Sie erneut in der neuen Darstellung die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Kopf(1) bzw. Zahl(0) zu erhalten. Berechnen Sie ebenfalls erneut den Erwartungswert.

zu a):
In ExpPhy haben wir immer mit dem Volumenintegral über das Betragsquadrat (p* mal p) normiert. Wie muss ich das aber hier machen? Ich kann ja nicht explizit das integral ausführen?

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände?
Wie bekomme ich den Erwartungswert ohne Integral?

zu b):
Für den Zustand Zahl müsste der Vektor dann (0,1)^T lauten, oder?
Aber wie verändert sich die Wellenfunktion?
Die Matrix müsste dann ja als Spalten diese Vektoren haben, oder? Reihenfolge egal?

Ihr seht, dass ich da wirklich auf dem schlauch stehe. Könnt ihr aushelfen?

Grüße
s.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21594

Es geht eigtl. nicht um Wellenfunktionen, sondern um zweidimensionale Zustandsvektoren

Das sind seine beiden Einheitsvektoren.

Weißt du jetzt, wie's weitergeht?

Dr.Sheldon.Cooper · Anmeldungsdatum: 02.05.2014 Beiträge: 49

"Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände?
Wie bekomme ich den Erwartungswert ohne Integral?"

Guck mal unter Dirac Notation nach. Es gibt eine Definition für das Skalarprodukt in Dirac Notation. Und da du eine orthonormale Basis hast, sind die Integrale trivial.

Feucht von Lipwig · Anmeldungsdatum: 19.09.2013 Beiträge: 122

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Danke für die Antworten.

Mit der Dirac-Notation hat es nun geklappt.