Geostationäre Kreisbahn

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Zitat Aufgabenblatt:

" Die Lösung des Keplerproblems für eine Kreisbahn ist, wenn die Gesamtenergie E gegeben ist:

mit

: Drehimpuls,

,

: Gravitationskonstante,

;

: Massen der zwei Körper,

: effektive Masse

.

a) Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn, indem Sie das effektive Potential minimieren

.

b) Berechnen Sie die Energie E für die Kreisbahn.

c) Die Bestimmungsgleichung

für den Radius kann auch als Kräftegleichgewicht zweier Kräfte aufgefasst werden. Zeigen Sie, dass die eine Kraft gerade die Gravitationskraft ist und die andere die Zentrifugalkraft

,wobei v der Betrag der Geschwindigkeit ist.

d) In welcher Entfernung vom Erdmittelpunkt muss man einen Sateliten auf einer Kreisbahn stationieren, damit er immer bei demselben Längengrad bleibt (geostationäre Umlaufbahn)? Hinweis: Gravitationskonstante

,Erdmasse

.

Ansatz:

a) Extremstelle berechnen?

b) Die Arbiet ist doch null weil die Gravitationskraft konservativ ist, richtig? Demzufolge muss doch die Änderung der Energie konstant sein. Da Bewegung im Spiel ist, muss doch auch kinetische Energie im Spiel sein, nicht wahr? .. Auch muss Potentielle Energie dabei sein, denn zwischen den Massenmittelpunkten gibt es einen Abstand den ich relevant glaube. Beides zusammen sollte sich zu meschanicher Energie zusammenaddieren, "ne"? Big Laugh

c) Wo muss ich ansetzten? :c

d) Also ich würde als Entfernung den Erdradius nehmen xDDDDD ( Nein jetzt Scherz beiseite Hilfe

)

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Erstmal vorneweg: Was weißt Du über dieses effektive Potential? Wie kommt man darauf und warum und so weiter...?
Da könntest Du Dir dann eventuell auch ein paar Sachen selbst beantworten, wenn Du das mal nachschlagen würdest. Hattet Ihr nichts gelernt über das effektive Potential beim Kepler-Problem?

a) Ja, das steht ja sogar schon da: Man soll die Nullstelle für die Ableitung dieses Effektiven Potentials bestimmen, was ja dann wahrscheinlich das Minimum sein wird.

b) Nein, da ist keine kinetische Energie mehr! Das effektive Potential ist ja ein eher abstraktes Gebilde. Man reduziert die gesamte eigentlich 3-dimensionale Bewegung zweier Körper auf genau eine Dimension r! Das kann man indem man sich auf den Schwerpunkt und die reduzierte Masse und so weiter bezieht und dann auch noch die Drehimpulserhaltung so anwendet, dass es letztlich zu einer eindimensionalen Bewegung im effektiven Potential wird.
Und bei dieser Kreisbahn bleibt r konstant und die ("reduzierte") Masse liegt gerade in diesem Minimum des effektiven Potentials bei diesem konstanten r in Ruhe.

Natürlich ist in Wahrheit bei einer Kreis
bahn schon eine kinetische Energie mit dabei, aber die ist eben in dem effektiven Potential schon mit ein-summiert!

Also ist die Berechnung ganz einfach: Die Energie auf der Kreisbahn ist gerade der Potentialwert des Minimums. Du rechnest also das r aus für das Minimum für die a) und bei der b) musst Du nur das in a) bestimmte r in das Potential einsetzen, fertig...

Bei der c) Wenn Du die Ableitung bildest hast Du ja eine Differenz da stehen und für das Minimum setzt Du diese Differenz gleich 0. Das bedeutet Du suchst die Stelle, wo der Minuend gleich dem Subtrahend ist. Du kannst diese beiden Teile auch als eine Kraft betrachten und hast mit dieser Gleichung also ein Kräftegleichgewicht. Da ist eben die Frage, kannst Du das eine als Gravitations-Kraft und das andere als Zentripetalkraft wiedererkennen (also die beiden Ausdrücke einfach)

d) Naja, geostationäre Bahn hast Du doch sicher schonmal irgendwie gehört, oder nicht? Bei Wikipedia gibts da auch einen Artikel drüber, wenn ich noch recht weiß... Lesen bildet!

Gruß
Marco

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Erstmals will ich mich dafür entschuldigen dass ich so lange gebraucht habe um zu antworten. Grund dafür war halt dass ich viel um die Ohren gehabt habe.
Nichtsdestotrotz habe ich mit Hilfe der Hinwiese alle Aufgaben biz zur letzten lösen können. Vielen Dank. Thumbs up!

Mein Ansatz ist mit einem Kräftegleichgewicht anzufangen. Die Gravitationskraft soll gleich der Zentrifugalkraft sein. Doch dann bleib ich immer dort stehen. Irgendeinen Tip?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Die Winkelgeschwindigkeit

des Satelliten soll der Winkelgeschwindigkeit der Erderotation entsprechen (wie groß ist die?). Das heißt, für die geostationäre Bahn hast Du indirekt v/r gegeben.
Wenn Du beide Seiten Deines Kräftegleichgewichts durch r teilst, solltest Du (v/r)² auf einer Seite stehen haben.

Gruß
Marco

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Nachdem ich Wikipedia bemüht habe folgt folgende meine Rechnung:

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Warum machst Du nicht einfach das, was in der Aufgabe steht? Hast Du jetzt schon mal die Ableitung gebildet und das Minimum der Funktion Ueff(r) bestimmt?

Gruß
Marco

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Ja das habe ich alles schon gemacht, ich bin gerade dabei den letzten Abschnitt zu loesen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

OK... Ja, die 42000km stimmen auf jeden Fall.

Gruß
Marco

kreis · Anmeldungsdatum: 27.04.2014 Beiträge: 93

Ok super!