Wellenfunktion herleiten, aber wie?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hallo,

Folgendes habe ich gegeben, wobei b reell ist:

1. Zeigen sie, dass folgendes gilt:

2. Berechnen Sie:

Meine Ideen:

Ich dachte, ich setzte einfach das \hat{\Psi}(k) ins Integral ein und zeige, dass für t=0 dann der gegebene Ausdruck \psi (x, 0) folgt. Leider ist das Integral nicht zu lösen, Mathematica gibt die komplexe Errorfunktion aus.

Nun habe ich keine Idee mehr, wie ich diese beiden Aufgaben gelöst bekomme. Könnt ihr mir helfen?

Danke und Grüße
s.

Jannick · Anmeldungsdatum: 25.07.2012 Beiträge: 107

Das Integral ist defenitiv lösbar und zwar wie alle Integrale dieses Typs mit quadratischer Ergänzung. D.h. du musst allen Kram der in der exp-funktion steht auf die Form der rechten Seite bringen

Dadurch entsteht ein Standard Gauss integral, welches zu

wird und ein Vorfaktor unabhängig von x. Lass dich nicht davon irritieren, dass a komplex ist. Da die Gaussfunktion holomorph ist ändert sich das Integral dadurch nicht.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hallo,

danke für die Hilfe. Habe die 1 nun hinbekommen und den Ausdruck hergeleitet. Mit dem Tip des Integrals klappte es nun. Vorher war mir dieses Integral unbekannt, daher hatte ich keine Ahnung.

Nun habe ich aber bei der 2 immer noch ein Problem:

Ich komme auf ein Integral (alles, was an Konstanten herauszuziehen ging habe ich getan) der Form:

Denn mit der Bedingung x_0= 0 fliegt ja einiges raus. Zu lösen, vor Ersetzungen c und d ist ja:

Wie kann ich dieses Integral lösen?

Danke und Grüße
s.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Du löst jedes derartige bestimmte Gaußsche Integral mit Integrationsgrenzen -Unendlich und + Unendlich mittels quadratischer Ergänzung, wie von Jannick beschrieben. Dabei ist es egal, ob über x oder k integriert wird. Die Idee (mit Integrationsvariable x) ist immer wie folgt:

D.h. du musst aus den bekannten Konstanten a,b,c die unbekannten Konstanten A,B bestimmen.

Anschließend Substitution

bei gleichen Integrationsgrenzen.

Das funktioniert auch im Komplexen, vorausgesetzt der quadratische Term hat ein negatives Vorzeichen.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Vielen Dank. Nun hat es geklappt.