Differentialgleichung - fehlender Lösungsansatz

Eselbrückenbauer · Anmeldungsdatum: 25.03.2014 Beiträge: 7

Meine Frage:
Hallo ich brauche einmal Eure Hilfe für einen Lösungsansatz einer Differentialgleichung.

Die Differentialgleichung ist in der Form wie ganz oben auf dem Bild 1 (s.u.). Sie beschreibt den Abfall der Stärke eines Magnetfeldes in einen Supraleiter in Abhängigkeit von der Eindringtiefe z wobei das Lambda eine Konstante ist. Durch Zweifaches Ableiten nach z soll also nur ein 1/lambda^2 als Vorfaktor dazu kommen.

Zum Einen habe ich bereits eine Rechnung für den Fall, dass wir ein Magnetfeld nur auf einer Seite des Supraleiters (da wird ihn als unendlich breit annehmen) haben. Für die Differentialgleichung (Bild 1) ist es für mich schon einsichtig, dass ein Lösungsansatz eine Exponentialfunktion ist. Da durch das zweifache Ableiten nach z immer ein 1/lambda als Faktor dazu kommt und sonst weder ein Vorzeichen noch sonst irgendwelche Veränderungen mit sich führt.

Jetzt soll der Supraleiter die Dicke d haben und von beiden Seiten ein Magnetfeld auf die Oberfläche kommen. Ich soll nun zeigen, dass die Lösung der Differentialgleichung wie auf Bild 2 aussieht. Aber wie kommt man da bitte auf die cosh-Funktionen? Ich habe es auch (auf Bild 2) kontrolliert und es klappt natürlich. Die Randbedingungen müssten dann ja (wie auf dem Foto ganz unten) wie folgt sein B(z=d/2)= B(z=-d/2)=B_0 und das klappt auch mit dem cosh-Funktionen. Setzt man die Werte für z ein, so kürzen sich die cosh-Funktionen weg und es bleibt nur noch B_0 (bzw. hier B_a).

Nur fehlt mir hier leider der Lösungsansatz wie man sich diese cosh-Funktionen herleiten kann. Habe mir schon lange Gedanken gemacht und sehr viel ausprobiert und gegooglet.

Bild 1: http://www.directupload.net/file/d/3679/92ghh683_jpg.htm
Bild 2: http://www.directupload.net/file/d/3679/fehnm3vv_jpg.htm
PS: Hier in Bild 2 ist ein "-" in der DGL. Das gehört da nicht hin ;-)

Meine Ideen:
Ich hätte nur die Idee, dass man sich einfach Gedanken darüber macht eine Funktion zu haben, die durch zweifaches Ableiten nach z unverändert bleibt und durch die innere Ableitungen das 1/lambda^2 erzeugt wird und somit die DGL erfüllt. Was dann eben eine trigonometrische Funktion wie cosh oder sinh ist.
Außerdem muss sie den Randbedingungen genügen, sodass wir einfach einen Quotienten bilden, der für z=d/2 und z=-d/2 eben die erforderlichen Ergebnisse liefert, nämlich zum Faktor 1 zu werden. Aber so wurde die Lösung ja sicher nicht hergeleitet oder?

Wie geht man da rechnerisch ran? Wäre nett wenn Ihr mir eine Lösungsmethode nennt, mit der Ihr es hinkriegt, damit ich es auch versuchen kann.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Deine DGL hat zwei Lösungen (auch schon beim ersten Mal):
e^{-x/lambda} und e^{+x/lambda}
Welche Superposition der beiden genommen werden muss, ist dann durch die Randbedingungen bestimmt.