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Plume
Gast
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 Plume Verfasst am: 24. Jul 2014 15:00 Titel: Bewegungsgleichung |
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Meine Frage:
Hi leute,
habe da eine Problemstellung, und bin leider sehr schwach in dem Thema Schwingungen und wäre erfreut über Hilfe. Nun erstmal das Problem:
Eine Masse m ist an einer Feder befestigt (Federkonstante k). Die Länge der Feder im nicht gespannten Zustand sei so klein, dass die Ruhelänge zu 0 angenommen werden kann. Bei der Auslenkung x=0 befindet sich die Masse in Ruhe. An diesem Punkt ist die Länger der Feder l. die Masse m wird reibungslos entlang der horizontalen x-Achse geführt. Sie führt nach Auslenkung eine Schwingung entlang der Achse aus. (Schwerkraft wird nicht berücksichtigt)
Gesucht ist die Bewegungsgleichung für die Masse. Hinweis: Stellen Sie zunächst die Gleichung in Abhängigkeit der x-Komponente der wirkenden Kraft Fx auf. Ersetzen sie dann Fx durch ausnutzen von geometrischen und physikalischen Zusammenhängen.
Meine Ideen:
Zunächst einmal gibt es keine Musterlösung zu dieser Aufgabe.
Ich habe es nun schon mal in eine harmonische Schwingung kategorisiert. Nun habe ich aus gewisser Literatur entnommen, dass für x(t) gilt:
kosinus bzw. sinusförmig bzw. bei beliebigen Anfangsbedingungen
=Acos(wt)
<br />
x(t)=Bsin(wt)
<br />
x(t)=Ccos(wt-\alpha)=Acos(wt)+Bsin(wt))
Jetzt weiß ich auch das gilt:
) (Anteil in x richtung)
ich weiß aber nicht ob ich so vorgehen kann und ein weiteres Problem ist das ich onilne andere Formeln für die Bewegungsgleichung finde. Ein Ansatz eurer Seits bzw. ein allgemeines vorgehen wäre sehr nett.
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123-michi19
Anmeldungsdatum: 06.11.2013
Beiträge: 226
Wohnort: Deutschland
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| 123-michi19 Verfasst am: 24. Jul 2014 16:24 Titel: |
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Was mir hierzu spontan einfällt; die Gleichung für die Schwingungsdauer T ist
Möglicherweise lässt sich in der Gleichung das Omega (w) mit
ersetzen?
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Plume
Anmeldungsdatum: 24.07.2014
Beiträge: 7
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| Plume Verfasst am: 24. Jul 2014 17:51 Titel: |
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Ich danke dir im Vorfeld für deine Antwort und diesen Hinweis.
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, welche Formel ich anwenden soll für das gegebene Problem.
Vllt ist die Aufgabe leichter zu verstehen durch meine Paint nachzeichnung:
Ich habe die Zeichnung aus dem externen Link geholt und hier als Anhang reingestellt. Bitte keine solchen Links verwenden, die sind irgendwann nicht mehr aktuell, und spätere Leser wollen die Zeichnung auch anschauen. Steffen
| Beschreibung: |
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| Dateigröße: |
10.07 KB |
| Angeschaut: |
1266 mal |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 24. Jul 2014 19:39 Titel: Re: Bewegungsgleichung |
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| Plume hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe es nun schon mal in eine harmonische Schwingung kategorisiert. |
Wie kommst Du darauf? Hast Du das nur geraten? Was muss denn immer erfüllt sein, dass eine Schwingung harmonisch ist?
Versuche zuerst, so wie in der Aufgabe beschrieben, die Kraft in x-Richtung zu berechnen, in Abhängigkeit der Auslenkung in x-Richtung.
Gruß
Marco
Zuletzt bearbeitet von as_string am 25. Jul 2014 14:25, insgesamt einmal bearbeitet |
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Plume
Anmeldungsdatum: 24.07.2014
Beiträge: 7
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| Plume Verfasst am: 25. Jul 2014 11:07 Titel: |
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| Zitat: | | Wie kommst Du darauf? Hast Du das nur geraden? Was muss denn immer erfüllt sein, dass eine Schwingung harmonisch ist? |
Hast recht. Sorry.. gab wohl ein Missverständnis meiner Seits. Es müsste sich hierbei um eine ungedämpfte Schwingung mit einem Freiheitsgrad handeln 
Wenn ich mich nun nicht irre gilt, die Kraft ist das Produkt aus Federkonstante und der Länge, um die die Feder gedehnt wird. Die Kraft in x-Richtung müsste dann der Sinusanteil sein.
=-k*x*sin(\varphi) )
Wobei x dann die die Länge der ausgedehnten feder ist.
Soweit Richtig? Wie wäre das weitere Vorgehen?
Ich danke für deine Hilfe 
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Jul 2014 13:38 Titel: |
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| Plume hat Folgendes geschrieben: | | Wobei x dann die die Länge der ausgedehnten feder ist. |
x ist aber die Auslenkung aus der Ruhelage und nicht die Ausdehnung der Feder.
Z. B. hat die Feder bei x=0 schon eine Ausdehnung von l ("ell").
Gruß
Marco
PS: Ich habe übrigens auch nicht gesagt, dass es keine harmonische Schwingung ist. Aber für eine harmonische Schwingung hast Du eine ganz zentrale Bedingung. Ob die hier erfüllt ist oder nicht, siehst Du erst, wenn Du die rückstellende Kraft richtig hast. Deshalb nochmal meine Frage: Was ist diese Bedingung?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 25. Jul 2014 14:06 Titel: Re: Bewegungsgleichung |
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| Plume hat Folgendes geschrieben: | | Die Länge der Feder im nicht gespannten Zustand sei so klein, dass die Ruhelänge zu 0 angenommen werden kann. |
So steht es in der Aufgabenstellung!
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Jul 2014 14:12 Titel: Re: Bewegungsgleichung |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Plume hat Folgendes geschrieben: | | Die Länge der Feder im nicht gespannten Zustand sei so klein, dass die Ruhelänge zu 0 angenommen werden kann. |
So steht es in der Aufgabenstellung! |
Verstehe den Hinweis jetzt nicht ganz. Meinst Du damit, dass mein letzter Post falsch ist oder etwas ganz anderes?
Gruß
Marco
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 25. Jul 2014 14:19 Titel: |
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Ich meine, dass eine Feder, deren Ruhelänge = 0 ist, gar keine Feder ist.
Man müsste also zunächst die Aufgabenstellung klären (korrigieren).
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Jul 2014 14:24 Titel: |
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Naja, ist nicht sehr physikalisch, aber wenn man diese Annahme nicht trifft, kommts halt nicht zur harmonischen Schwingung.
Dass die Länge "sehr klein" ist, kann man ja schon so annehmen, warum nicht? Wie gesagt, wird schwer sein, eine solche Feder herzustellen, aber rechnen kann man damit ja schon.
Ich meine, die Näherung, es gäbe keine Reibung, ist hier wahrscheinlich auch nicht gerade sehr leicht realisierbar...
Oder übersehe ich wieder ein noch viel größeres Problem?
Gruß
Marco
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Plume
Anmeldungsdatum: 24.07.2014
Beiträge: 7
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| Plume Verfasst am: 25. Jul 2014 14:38 Titel: |
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Danke für das Anhängen der Zeichnung. Hatte es irgendwie nicht hinbekommen so.
Zur Aufgabe:
also wie ich das verstanden hab, ist eine Schwingung harmonisch, wenn man den zeitlichen Verlauf durch eine Sinusfunktion beschreiben kann.
Zu dem x, wenn ich dich richtig verstanden habe und die Feder bei x=0 (länge l) sich in Ruhelage befindet, muss ich nur die Auslenkung aus der Ruhelage berücksichtigen, was theoretisch heißen würde:
 )
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 25. Jul 2014 15:06 Titel: |
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Wenn man die unsinnige Angabe Ruhelänge = 0 ignoriert und stattdessen annimmt: Ruhelänge der Feder = L, so lautet die Differenzialgleichung, die die Bewegung beschreibt:
=0)
Dies ergibt keine harmonische Schwingung.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 25. Jul 2014 15:13 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man die unsinnige Angabe Ruhelänge = 0 ignoriert und stattdessen annimmt: Ruhelänge der Feder = L, so lautet die Differenzialgleichung, die die Bewegung beschreibt: |
Die Ruhelaenge ist aber nicht L, und Ruhelänge =0 mag unphysikalisch sein, aber ist letztendlich nur der Limes, dass die Ruhelänge sehr viel kleiner ist als L. Da ist nichts verkehrt dran.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Jul 2014 15:20 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | Wenn man die unsinnige Angabe Ruhelänge = 0 ignoriert und stattdessen annimmt: Ruhelänge der Feder = L, so lautet die Differenzialgleichung, die die Bewegung beschreibt:
Dies ergibt keine harmonische Schwingung. |
Ja, das ist gerade, was ich sage: Es ergibt nur dann eine, wenn l sehr viel größer als die Ruhelänge.
Deshalb die Angabe im Text.
Ich verstehe das Problem einfach nicht so ganz. Wenn Du eine Feder nimmst, die unausgelenkt sagen wir 5cm lang ist und Du wählst l=1m. Ich denke, dann ist die die Vorgabe schon ganz gut erfüllt. Ob das jetzt der Feder gut tut oder nicht, ist eine andere Frage...
Deine DGl ist zumindest falsch für diese Aufgabe.
Gruß
Marco
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 25. Jul 2014 15:33 Titel: |
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Bei meiner Differenzialgleichung bin ich davon ausgegangen, dass die Feder in der Ruhelage die Länge L hat und entspannt ist.
Falls die Feder in ihrer entspannten Lage die Länge b hat, so lautet die Differenzialgleichung:
=0)
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Plume
Anmeldungsdatum: 24.07.2014
Beiträge: 7
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| Plume Verfasst am: 25. Jul 2014 15:54 Titel: |
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Hi Leute,
Also die Problemstellung besteht immer noch und der einzige Ansatz den ich bis jetzt habe ist immer noch wie vorher:
=-k*l*tan(\varphi )*sin(\varphi)
<br />
<br />
=> m*a+k*l*\frac{sin^{2}(\varphi)}{cos(\varphi)}=0
<br />
)
Leider sitze ich aufm Schlauch. Ich habe auch bereits die angeboten Lösungen gesehen und danke auch soweit für die Hilfe. Aber ohne zu wissen wie ich darauf komme hilft es mir nur sehr wenig.
Für weitere Anregungen wäre ich dankbar.
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 26. Jul 2014 10:34 Titel: |
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Unter der Annahme, dass die entspannte Feder die Länge L hat.
Federdehnung:
Federkraft:
*k)
Komponente der Federkraft in x-Richtung:
*k*sin(\varphi))
wobei
=\frac{x}{\sqrt{L^2+x^2}})
Also Rückstellkraft:
*k*\frac{x}{\sqrt{L^2+x^2}}\\
<br />
=-k*x(1-\frac{L}{\sqrt{L^2+x^2}}))
Differenzialgleichung daher:
*k*x=0)
Bei meiner gestern angegebenen Gleicheng hatte sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Diese Differenzialgleichung lässt sich meiner Ansicht nach nur numerisch lösen. (Runge Kutte oder CAS).
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Plume
Anmeldungsdatum: 24.07.2014
Beiträge: 7
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| Plume Verfasst am: 26. Jul 2014 11:49 Titel: |
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Danke für deine ausführliche Antwort. Ein kleines Problem hab ich da noch bei einer, sag ich mal, so komplizierten Lösung.
Es handelt sich hierbei um eine alte Klausuraufgabe, wobei Kenntniss über das Lösen von DGL's nicht vorausgesetzt wurde. Das einfache Integrieren sollte da aber schon gekonnt sein. Und als Klausurvorbereitung stehen die zur verfügung, jedoch ohne Lösung.
Bei mir bestehen nun Zweifen, das es sich dabei um eine so Komplizierte Lösung handelt. Zudem sie ja nur numerisch gelöst werden kann.
Kann man die anfängliche Auslenkung nicht mit hilfe von geometrischen Beziehungen bestimmen, wenn man voraussetzt das phi und L bekannt sind?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 28. Jul 2014 12:00 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Unter der Annahme, dass die entspannte Feder die Länge L hat. |
Ich verstehe einfach immer noch nicht, warum Du etwas lösen willst, das definitiv nichts mit der Aufgabe zu tun hat. Die Aufgabenstellung widerspricht ja direkt genau dieser Annahme.
Und ich verstehe immer noch nicht, warum Du Dich so gegen die Annahme wehrst, dass die Länge der entspannten Feder sehr klein gegenüber ell ist und deshalb näherungsweise zu 0 angenommen werden kann.
Ich meine, dass das (unnötigerweise) nur für große Verwirrung beim Thread-Ersteller führt und sonst nichts.
Gruß
Marco
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 28. Jul 2014 17:19 Titel: |
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Ich glaube, ich weiß jetzt, woher unsere verschiedenen Auffassungen der Aufgabe kommen.
Du nimmst an, dass die Feder mit einer entspannten Länge Le < L in der Ruhelage (phi = 0) mit zusätzlichem Gestänge mit der Masse und dem Festpunkt verbunden sei. Dann hat diese Länge Le keinen Einfluss auf die Federkraft wenn die Masse die Position x erreicht.
Ich habe angenommen, dass die entspannte Feder die Länge Le = L hat und für den Fall, dass Le < L ist, die Feder trotzdem in der Ruhelage die Länge L einnimmt (also mit einer Vorspannung). Dann ist bei Position x, die Feder einer zusätzlichen Dehnung (=zusätzlichen Federkraft) unterworfen. Die Lösung hängt dann sehr wohl von der Länge Le ab.
In der Aufgabenstellung steht (sinngemäß): „in der Ruhelage hat die Feder die Länge L“.
Nicht für ungut. Hauptsache der Fragesteller versteht die Lösung.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 28. Jul 2014 20:18 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: |
Ich habe angenommen, dass die entspannte Feder die Länge Le = L hat und für den Fall, dass Le < L ist, die Feder trotzdem in der Ruhelage die Länge L einnimmt (also mit einer Vorspannung). Dann ist bei Position x, die Feder einer zusätzlichen Dehnung (=zusätzlichen Federkraft) unterworfen. Die Lösung hängt dann sehr wohl von der Länge Le ab.
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Das ist ja auch die Aufgabe. Und natürlich hängt die Lösung von Le ab. Aber es steht da auch, dass man Annehmen soll, dass Le=0 ist (sprich: viel viel kleiner als L).
... irgendwie versteh ich nicht so ganz, was Dir da Probleme bereitet.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 28. Jul 2014 22:01 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Du nimmst an, dass die Feder mit einer entspannten Länge Le < L in der Ruhelage (phi = 0) mit zusätzlichem Gestänge mit der Masse und dem Festpunkt verbunden sei. |
Äh, ich nehme sogar an, dass Le viel kleiner als L, so dass man sogar von Le=0 ausgehen kann, wie es eindeutig in der Aufgabe beschrieben ist!
| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Dann hat diese Länge Le keinen Einfluss auf die Federkraft wenn die Masse die Position x erreicht. |
Wie, keinen Einfluss auf die Federkraft??? Die Federkraft ist dann k*(L-Le) oder eben gerade k*L, wenn man von Le=0 ausgeht.
Und ja, bei x=0 ist die Rückstellende Kraft (F=k*L*sin(0)) gerade 0, sonst wäre es ja auch nicht die Ruhelage, einverstanden?
| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe angenommen, dass die entspannte Feder die Länge Le = L hat und für den Fall, dass Le < L ist, die Feder trotzdem in der Ruhelage die Länge L einnimmt (also mit einer Vorspannung). |
Ich weiß nicht, wie ich es noch beschreiben soll:
Eine Feder mit Federhärte k hat im freien, entspannten Zustand (liegt einfach nur rum oder so) eine sehr geringe Länge, man kann sie hier gleich 0 setzen, weil sie viel geringer ist, als die Abmessungen, die sonst in der Versuchsanordnung vorkommen.
Jetzt wird sie in die Anordnung eingebaut: Abstand vom festen Punkt P zu der Führungsschiene ist L und die Masse auf der Führungsschiene kann sich auf dieser hin und her bewegen. Auf die Schiene legen wir noch die x-Achse. Der nächste Punkt auf der Führungsschiene zu dem festen Punkt P sei bei x=0.
Jetzt wird zwischen der Masse und dem Punkt P die vorhin beschriebene Feder eingebaut. In der Ruheposition bei x=0, hat sie dann eben die Vorspannung L und eine Federkraft von k*L senkrecht auf die Führungsschiene. Bei einer Auslenkung x ist die Kraft zurückstellend.
| jumi hat Folgendes geschrieben: | | In der Aufgabenstellung steht (sinngemäß): „in der Ruhelage hat die Feder die Länge L“. |
Du verwechselst die ganze Zeit die Ruhelage der schwingenden Vorrichtung (bei x=0, Feder hat Länge L) mit der entspannten Länge der Feder, die mit 0 angenommen werden soll! Das unterscheidet die Aufgabe schon, wenn sie von einer "Ruhelänge" von 0 spricht (das wäre das Le) und von "bei x=0 befindet sich die Masse in Ruhe" spricht, dabei aber dann eine Ausdehnung der Feder von l nennt. Aber es steht eben gerade nicht da, dass die Ruhelänge l und gleichzeitig 0 wäre!
| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Nicht für ungut. Hauptsache der Fragesteller versteht die Lösung. |
Naja, das Problem ist eben nur, dass Deine Lösung nichts mit der Aufgabe zu tun hat. Wenn er die versteht, dann würde er zwar die richtige auch verstehen (weil die viel einfacher ist...), aber wenn er sie nicht versteht, dann ist er jetzt nur noch viel mehr verwirrt.
Ich werde versuchen mal eine Zeichnung zu machen, die weiter helfen könnte...
Gruß
Marco
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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Plume
Anmeldungsdatum: 24.07.2014
Beiträge: 7
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| Plume Verfasst am: 29. Jul 2014 10:40 Titel: |
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Ich danke vielmals für die super ausführliche Antwort mit Zeichnung  
Kam leider nicht dazu früher zu antworten. Nach deinem Hinweis statt der Winkelbeziehungen die Seitenverhältnisse zu nutzen kam ich auf die selbe "Lösung" (obs dann genauso richtig ist..).
=-k*l*\frac{x}{l}=-k*x)
Meine letzte Frage (hoffe ich vorerst) wäre da noch, ist es nur möglich eine allgemeine Lösung anzugeben für die DGL
=y_{0}*cos(wt+\alpha))
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5797
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 29. Jul 2014 12:36 Titel: |
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Omega hast Du ja damit schon bestimmt (Damit Dein zweites Gleichheitszeichen richtig ist, muss ja omega einen bestimmten Wert haben).
Der Rest hängt von den Anfangsbedingungen ab: Wie ist die Amplitude und wie ist die Phase? Das kann ja für diesen einen Schwinger ganz unterschiedlich sein, je nachdem, wie er angestoßen wurde und wie man t=0 legt im ganzen Ablauf.
Gruß
Marco
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