Differentialgleichung

Christian1911 · Anmeldungsdatum: 05.08.2014 Beiträge: 1

Meine Frage:
Guten Tag

Ich benötige Hilfe

Es geht um das Thema: Differentialgleichung

Ich verstehe einfach nicht das warum und wieso überhaupt

Ich kenne mich schon einwenig,in der Physik,aus Sie können also,ohne bedenken,Fachbegriffe benutzen

Halten sie es dennoch,einfach.

Und ich hätte noch eine Frage
Ist diese,von mir entwickelte,Formel richtig?
v?m:n(9,81)=n->m (die Kraft,die das objekt,bei der Geschwindiket aufbringt)

Meine Ideen:
.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Du verstehst nicht, wozu man Differentialgleichungen braucht? Warum, darüber kann man wahrscheinlich nur mutmaßen, aber es ist eine Tatsache, dass man Naturgesetze in ihrer allgemeinsten Form als Differentialgleichung formuliert. In der Schule gibt es tausend Formeln für alles Mögliche, die scheinbar in keinem Zusammenhang stehen (z.B.

, das elektrische Feld von diesem, von jenem, das magnetische Feld von bla und von foo, ...), doch dahinter stecken viel weniger viel grundlegendere Prinzipien, die sich als Differentialgleichung formulieren lassen. In den allermeisten Fällen kann man das globale Verhalten gar nicht vorhersehen bzw. analytisch ausdrücken (Stichworte nichtintegrable Systeme, deterministisches Chaos), allein die Differentialgleichungen, die das lokale Verhalten beschreiben, sind greifbar.
In der Mechanik steckt dahinter sogar ein sehr allgemeines Prinzip, das newtonsche Determiniertheitsprinzip: Kennt man den mechanischen Zustand eines abgeschlossenen Systems zu einem Zeitpunkt, d.h. alle Teilchenpositionen und -geschwindigkeiten, so auch zu jedem anderen.

Beispiele für Differentialgleichungen:
- 2. Newtonsches Axiom in der Mechanik. "Die Beschleunigung ist die Kraft" (Zitat von meinem Mathe-Prof) durch die Masse.^^ Die Kraft ist eine Funktion aller Teilchenorte und -geschwindigkeiten (einige Autoren, z.B. Landau, sehen letzteres nicht als zum Zuständigkeitsbereich der klassischen Mechanik gehörig an), d.h. des mechanischen Zustands. Die Beschleunigung ist per definitionem die zweite Zeitableitung der Teilchenorte. Man erhält so ganz natürlich eine Differentialgleichung zweiter Ordnung:

- die Euler-Lagrange-Gleichung der Variationsrechnung. Gesucht ist die Funktion y(x), die den Wert des Funktionals

stationär macht. Unter bestimmten Voraussetzung (nämlich Einschränkung auf C2-Funktionen) ist das äquivalent zu der Euler-Lagrange-Gleichung

, was eine DGL zweiter Ordnung ergibt. Wenn du zum Beispiel die Fläche von etwas minimieren willst, z.B. von einer Seifenhaut, hast du eine Differentialgleichung zu lösen (siehe z.B. Königsberger Analysis 2). Oder wenn du eine ideale Rutsche bauen willst (das so genannte Brachystochronenproblem)
- theoretische Biologie: Räuber-Beute-Beziehung wird durch die Lotka-Volterra-Gleichungen beschrieben. Es ist einfacher, eine Differentialgleichung zu lösen als eine Differenzengleichung (genauso wie es einfacher ist, 1/x² zu integrieren, als den Wert der unendlichen Reihe über 1/n² zu berechnen), erstere stellt bei hinreichend vielen Individuen eine gute Näherung dar. Die genauere Untersuchung in der Nähe von Fixpunkten erlaubt es, zu verstehen, wieso ökologische System empfindlich auf äußere Eingriffe reagieren bzw. wieso ganze Systeme zusammenbrechen, sobald eine Art fehlt (es gibt nämlich zwei Fixpunkte, einen unkritischen elliptischen, der eine periodische Bewegung um ein Gleichgewicht hervorruft, sowie einen kritischen hyperbolischen, der zum unkontrollierten Wachsen bzw. zum Aussterben einer Art führt).
Hier sieht man, dass man aus quantitativen Kenntnissen des lokalen Verhaltens zu qualitativen Erkenntnissen über das globale Verhalten kommt.
- Elektrodynamik: Du kennst sicher den Einschaltstrom einer Spule. Um I(t) zu berechnen, reicht es, zu wissen, dass

ist. Zusammen mit der Maschenregel führt dies auf die Differentialgleichung, deren Lösung I(t) ist.
Die Grundgleichungen der Elektrodynamik sind die Maxwellgleichungen. Eine davon ist

, vereinfacht

. Willst du das elektrische Feld um eine gegebene Ladungsverteilung berechnen, hast du diese Gleichung zu lösen (nur, dass es natürlich etwas unsinnig ist, eindimensional zu rechnen - es handelt sich eigentlich um eine partielle Differentialgleichung).
Es gibt einen Ansatz, partielle DGLn auf gewöhnliche DGLn zurückzuführen. Heute habe ich von Vladimir Arnold die Aussage gelesen, dies bedeute physikalisch die Dualität der Beschreibung eines Phänomens durch eine Welle bzw. einen Teilchenstrom.
- Quantenmechanik: Die Schrödingergleichung verknüpft die Zeitableitung der Wellenfunktion mit den zweiten Ableitungen nach dem Ort. Dabei ist also ganz entscheidend, dass die Wellenfunktion auch eine Phase hat, nicht nur einen Betrag, der für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit steht.

Ohne Differentialgleichungen gäbe es keine Physik. Jedenfalls nicht in der Form, wie es sei heute gibt. Daher sei gestattet, dieser Aussage skeptisch gegenüber zu stehen: