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eniem
Gast
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 eniem Verfasst am: 05. Nov 2014 15:58 Titel: Materialmodell: Lsg. d. DGL eines general. Maxwell-Modells |
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Hallo liebe Forianer,
Ich sitze gerade vor einem Materialmodell, dessen DGL ich kenne, allerdings habe ich ein Problem mit der Lösung derselben. Es handelt sich dabei um eine lineare DGL 4. Ordnung, die in Differentialoperatorform folgendermaßen angegeben werden kann:
}{\partial t^i}=\sum_{j=0}^m p_j\frac{\partial^j\varepsilon(t)}{\partial t^j})
Damit kann ein linar-viskoelastisches Werkstoffverhalten unter einachsiger Spannung beschrieben werden. - Ich verwende hierzu ein sogenanntes "verallgemeinertes Maxwell-Modell" bestehend aus einer Parallelschaltung einer Feder mit 4 Maxwell-Elementen. Dafür ergibt sich folgende DGL:
+a_1\cdot\frac{\partial \sigma(t)}{\partial t}+a_2\cdot\frac{\partial^2\sigma(t)}{\partial^2 t}+a_3\cdot\frac{\partial^3\sigma(t)}{\partial^3 t}+a_4\cdot\frac{\partial^4\sigma(t)}{\partial^4 t} = b_0\cdot\varepsilon(t)+b_1\cdot\frac{\partial \varepsilon(t)}{\partial t}+b_2\cdot\frac{\partial^2\varepsilon(t)}{\partial^2 t}+b_3\cdot\frac{\partial^3\varepsilon(t)}{\partial^3 t}+b_4\cdot\frac{\partial^4\varepsilon(t)}{\partial^4 t})
Die Parameter a_0 bis a_4 und b_0 bis b_4 sind darin zeitabhängige Materialparameter, welche mir für jeden Zeitpunkt bekannt sind.
Ebenfalls kenne ich für jeden Zeitpunkt den Wert der Spannung, also sigma(t) ist bekannt.
Obige Gleichung kann einfacher als Differentialoperator-Gleichung geschrieben werden:
]=B[\varepsilon(t)])
mit 
und 
Für die Randbedingungen
- Zeit  nur im Bereich 
- bei  ist  und 
- bis gab es keine Vorbelastung
Kann gemäß einer Literaturquelle (http : // mediatum.ub.tum.de/doc/601943/601943.pdf) (Seite 12ff) folgende LaPlace-Transformation verwendet werden:
\bar{\sigma}(s)=(a_0+a_1\cdot s+a_2\cdot s^2 + a_3\cdot s^3 + a_4\cdot s^4)\bar{\sigma}(s))
\bar{\varepsilon}(s)=(b_0+b_1\cdot s+b_2\cdot s^2 + b_3\cdot s^3 + b_4\cdot s^4)\bar{\varepsilon}(s))
Letztlich also
\bar{\sigma}(s)=\bar{b}(s)\bar{\varepsilon}(s))
bzw.:
=\frac{a_0+a_1\dot s+a_2\cdot s^2 + a_3\cdot s^3+a_4\cdot s^4}{b_0+b_1\dot s+b_2\cdot s^2 + b_3\cdot s^3+b_4\cdot s^4}\cdot\bar{\sigma}(s))
In der Literaturquelle heißt es nun weiter: "Weiters gilt, dass die Werkstoffkonstanten zeitABhängig seien können." (So wie dies bei mir der Fall ist.)
und weiter: "In Reihenentwicklung dargestellt vereinfacht sich o.g. Gleichung mit den zeitUNabhängigen Materialparametern a_i und b_i zu" (*):
=\Biggr[\sum_{i=1}^l \frac{a_i}{b_i+s}\Biggl]\cdot\bar{\sigma}(s)=\sum_{i=1}^l F_i(s)\cdot\bar{\sigma}(s))
Das Rücktransformieren führt dann gemäß der Literaturquelle zu folgendem Faltungsintegral:
=\int_0^t\sum_{i=1}^l a_i\cdot e^{-b_i\cdot(t-\xi)}\sigma(\xi)d\xi=\int_0^t\sum_{i=1}^l a_i e^{-b_i t}\sigma(t-\xi)d\xi)
Hierzu stellen sich mir Folgende Fragen:
1.) Wie gelangt man zur in (*) angegebenen Summe? (Der "Reihenentwicklung"). - Warum enthält diese nicht mehr die ursprünglich vorhandenen Parameter  und  . Was ist damit passiert?
2.) Gilt die angegebene Lösung auch für zeitabhängige Materialparameter? Bzw. wie müsste man dann die DGL lösen? Oder ändert sich gar nichts daran, da das ja nach wie vor "Konstanten" bleiben, die zwar von der Zeit, nicht aber von sigma oder epsilon abhängen?
Letztlich bin ich auf der Suche nach einer Gleichung, die mir für jeden beliebigen Zeitpunkt "" ein ) liefert und nur von der bekannten Spannung sigma(t) bzw. den Materialkonstanten abhängt ... also etwas in die Richtung wie oben angegeben;
nur wie gesagt weiß ich nicht, ob ich das 1:1 so übernehmen kann, da zum einen die Parameter und "fehlen" bzw. zum anderen die Materialkonstanten zeitabhängig sind ...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Besten Dank im Voraus,
eniem |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 05. Nov 2014 16:39 Titel: Re: Materialmodell: Lsg. d. DGL eines general. Maxwell-Mode |
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| eniem hat Folgendes geschrieben: |
Für die Randbedingungen
- Zeit nur im Bereich
- bei ist und
- bis gab es keine Vorbelastung
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Das es sich um eine DGL 4-ter Ordnung handelt brauchst Du den Anfangswert bis zur dritten Ableitung von epsilon bei t=0.
| Zitat: |
1.) Wie gelangt man zur in (*) angegebenen Summe? (Der "Reihenentwicklung"). - Warum enthält diese nicht mehr die ursprünglich vorhandenen Parameter und . Was ist damit passiert?
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Ich nehme mal an, dass das andere ai und bi sind, als in deiner Anfangsgleichung. Um den Zusammenhang zu sehen, bring die Summe auf einen Nenner und Mach einen Koeffizientenvergleich im Nenner und Zähler.
| Zitat: |
2.) Gilt die angegebene Lösung auch für zeitabhängige Materialparameter? Bzw. wie müsste man dann die DGL lösen? Oder ändert sich gar nichts daran, da das ja nach wie vor "Konstanten" bleiben, die zwar von der Zeit, nicht aber von sigma oder epsilon abhängen?
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Nein gilt sie (natürlich) nicht. Wenn die Koeffizienten von der Zeit abhängen sind es keine Konstanten sondern Funktionen der Zeit. Wenn Dir die analytische Form der Zeitabhängigkeit bekannt ist, kann man das evtl trotzdem mit der Laplace-Transformation lösen. Wenn Du nur die numerischen/gemessenen Werte kennst, dann ist das mit der Laplace-Transformation höchstens formal möglich, aber bringt dich vermutlich nicht sehr weit.
Formal ist die Lösung aber eh schon bekannt:
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation#Systems_of_Linear_Differential_Equations
(das hilft aber vermutlich nur bedingt weiter)
Wenn Du die bekannten Zeitabhängigkeit der ai und bi nicht analytisch kennst, lässt sich das ganze normalerweise nur numerisch lösen (wenn nicht noch irgendein wunder geschieht in Deinem System). |
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eniem
Gast
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| eniem Verfasst am: 05. Nov 2014 17:02 Titel: |
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Hallo jh8979,
| Zitat: | | Das es sich um eine DGL 4-ter Ordnung handelt brauchst Du den Anfangswert bis zur dritten Ableitung von epsilon bei t=0. |
Mmh. Daran habe ich gar noch nicht gedacht; allerdings dachte ich, wenn das System zu Beginn völlig Spannungs- und Dehnungsfrei ist und auch keinerlei Belastung erfährt, auch sämtliche Ableitungen von für 0 sind.
| Zitat: | | Ich nehme mal an, dass das andere ai und bi sind, als in deiner Anfangsgleichung. Um den Zusammenhang zu sehen, bring die Summe auf einen Nenner und Mach einen Koeffizientenvergleich im Nenner und Zähler. |
Gute Idee - bin schon dabei.
| Zitat: | | Nein gilt sie (natürlich) nicht. Wenn die Koeffizienten von der Zeit abhängen sind es keine Konstanten sondern Funktionen der Zeit. Wenn Dir die analytische Form der Zeitabhängigkeit bekannt ist, kann man das evtl trotzdem mit der Laplace-Transformation lösen. |
Hm, eigentlich logisch. Ich habe da wohl zu sehr in "Zeitschritten" gedacht, innerhalb derer sich Konstanten ja nicht ändern (allerdings der Rest auch nicht ...) was mich zur falschen Vermutung kommen hat lassen.
Ich kenne aber tatsächlich die analytische Form der zeitabhängigen Materialparameter.
Lediglich ) kenne ich nur in Form von "Messpunkten".
Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich die DGL mit meinen bekannten Größen lösen soll bzw. womit beginnen etc. ... - als 'einfacher Bauingenieur' macht man sowas nicht unbedingt oft ...
LG
eniem |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 05. Nov 2014 17:38 Titel: |
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Wie sieht die analytische Form der Koeffizienten aus? |
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eniem
Gast
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| eniem Verfasst am: 05. Nov 2014 17:57 Titel: |
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Hallo jh8979,
diese ist sehr umfangreich, ich schreib sie mal exemplarisch für a_0 bzw. a_1
\cdot E_1\cdot\eta_2(t)\cdot\eta_3(t)\cdot\eta_4(t)}+\frac{1}{E_0\cdot E_2\cdot\eta_1(t)\cdot\eta_3(t)\cdot\eta_4(t)}+\frac{1}{E_0\cdot E_3\cdot\eta_1(t)\cdot\eta_2(t)\cdot\eta_4(t)}+\frac{1}{E_0\cdot E_4\cdot\eta_1(t)\cdot\eta_2(t)\cdot\eta_3(t)})
mit
und (t in Stunden)
 = 20000\cdot \exp(-1,50\cdot(\frac{t}{24})^{-0,65}))
Bzw. für die Alterung der Dämpferviskositäten (t in Stunden):
=d_{1,i}\cdot(\frac{t}{24})^0,70)
Und dafür
...
Die restlichen Parameter  bis  und bis  sind ähnlich aufgebaut; ich kann sie gern noch angeben, falls dies für die weitere Vorgehensweise wichtig ist. |
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eniem
Gast
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| eniem Verfasst am: 05. Nov 2014 18:04 Titel: |
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Hoppla,
zu schnell geklickt:
a0 und a1 mit
bzw. für die Dämpferviskositäten
 = d_{1,i}\cdot(\frac{t}{24})^{0,70})
mit
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 05. Nov 2014 19:17 Titel: |
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Die ai's sind relativ egal, weil auf der Seite eh alles bekannt ist. Die bi's wären wichtig, aber da die vermutlich ähnlich aussehen, ist das Projekt "Analytische Lösung finden" gestorben 
-> Numerisches Lösen der DGL |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 05. Nov 2014 19:49 Titel: |
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Ich glaub es gibt einen Weg die Laplacetransformierte der Lösung durch die Laplacetransformationen der ai,bi und sigma zu erhalten.... aber ich bezweifel dass man das wieder zuruecktransformieren kann (auf einfache Weise).
Ich würde die Gleichung versuchen numerisch zu lösen. |
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eniem
Gast
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| eniem Verfasst am: 05. Nov 2014 20:01 Titel: |
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Hallo jh8979,
| Zitat: | Ich glaub es gibt einen Weg die Laplacetransformierte der Lösung durch die Laplacetransformationen der ai,bi und sigma zu erhalten.... aber ich bezweifel dass man das wieder zuruecktransformieren kann (auf einfache Weise).
Ich würde die Gleichung versuchen numerisch zu lösen. |
... also Matlab anwerfen, oder so 
LG
eniem |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 05. Nov 2014 20:05 Titel: |
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| eniem hat Folgendes geschrieben: |
... also Matlab anwerfen, oder so
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Ja.
Wenn mir noch was schlaues einfällt, lass ich es Dich wissen. Aber ich vermute egal was man macht, am Ende läuft das eh auf numerisches Lösen/Berechnen hinaus (es gibt in der Physik eine "Aufwandserhaltung" = Erhaltung des Aufwands den man zum Lösen betreiben muss ). |
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