Ionenkristall - absolute Konvergenz

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Die Aufgabe lautet:

Eine Kette von unendlich vielen äquidistanten (Abstand a) abwechselnd positiven und negativen Punktladungen q ist ein einfaches, eindimensionales Modell für einen Ionenkristall. Berechnen Sie die elektrostatische Energie für eine der Ladungen.

Klingt einfach:

.

Problem: Bei dem Ausdruck handelt es sich nicht um eine summierbare Familie, da die Summe nicht absolut konvergiert (

). Nach einem Satz von Riemann kann man also durch eine geeignete Anordnung der Summanden jeden beliebigen Wert für die Summe erzeugen (indem man ein paar positive Terme addiert, bis man über dem gewünschten Wert liegt, dann so lange negative, bis man unter dem gewünschten Wert liegt, dann wieder positive, usw.).

Meine Ideen: Wenn es sich um eine physikalische Anordnung handelt, darf der Ausdruck nicht von der Summationsfolge abhängen. Folglich muss die Anordnung unphysikalisch sein. Nun gibt es aber ein großes Gebiet der Physik, das sich mit Ionenkristallen beschäftigt. Wie geht man damit um?

EDIT:
Noch eine Idee: Vielleicht kann man durch die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit irgendwie begründen, dass man die Summe gewissermaßen symmetrisch zu nehmen hat, d.h.

?

EDIT: Streng genommen dürfte man auch nicht zwei Ladungsterme zusammenfassen, wie ich es gemacht habe (daher der Faktor 2). Das macht die Lage aber jedenfalls nicht besser.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Okay, danke dir. Das geht ja so ein bisschen in die Richtung des EDITs.

Gibt es dafür irgendeine Notation bzw. Theorie? Bei Integralen kann man ja den Cauchy-Hauptwert definieren, wie ist das bei Summen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Nicht dass ich wüsste. Ich denke es ist impliziert, dass das der physikalische Weg ist diese Summe "korrekt" zu berechnen.