Stückweise Potential in einem Kreis

Ventura · Anmeldungsdatum: 01.07.2014 Beiträge: 20

Meine Frage:
Hallo Leute
Habe ein kleines Problem und würde mich freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoss geben könnte.
Und zwar habe ich ein Teilchen der Masse m, welches sich um einen Kreis mit Radius R bewegt.
Auf dem Intervall

ist das Potential 0 und sonst

. Jetzt soll ich die Schrödinger Gleichungen aufstellen für diese beiden Situationen.

Meine Ideen:
Für die erste Situation kein Problem, aber beim zweiten ergibt sich mir ja:

aber wenn

habe ich ein Problem, denn dann kann ich diese DGL nur mit einem Exponentialansatz lösen (ohne i).Also:

Aber dies ergibt mir nicht mehr eine zwei-pi periodische Lösung. (Welche ich ja möchte für ein Teilchen auf einer Kreisbahn)

Hoffe jemand versteht das Problem. Würde mich sehr über Antworten freuen.
Lg Ventura

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich gehe davon aus, dass dein Kreis mittels

beschrieben wird.

Dein Potential hat jetzt also die beiden jeweils konstanten Bereiche

Du benötigst nun keineswegs Basisfunktionen, die auf dem gesamten Kreis jeweils periodisch sind (das macht nur die Rechnung einfacher), es genügt vielmehr, dass die Eigenfunktionen in jedem Punkt stetig und genügend oft differenzierbar sind (wegen der Definition des Hamiltonoperators).

Dein Ansatz ist zunächst mal korrekt.

An den Sprungstellen des Potentials stellst du die Stetigkeit (plus Differenzierbarkeit) wie üblich sicher.

Bei

muss die Wellenfunktion bei Grenzwertbildung

stetig (und differenzierbar) sein.

Ich denke, du benötigst dabei auch für V > E beide Lösungen der Schrödingergleichung! Du darfst bzw. musst die exponentiell ansteigende Lösung nicht ausschließen, denn diese verschwindet für unbeschränktes x (also auf der reellen Gerade) nur aufgrund der Forderung der Normierbarkeit. Bei einen Kreis stört das jedoch nicht.

Ventura · Anmeldungsdatum: 01.07.2014 Beiträge: 20

Hallo Danke für die Antwort. Also ist mein Ansatz schon mal nicht schlecht; Danke an dieser Stelle.

Noch eine kurze Frage: Verstehe ich das richtig, dass ich für das Intervall:

eine exponentiell fallende Lösung habe
und für

eine exponentiell wachsende?

Grüsse Ventura

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Nein Du hast beide Lösungen auf dem ganzen Intervall, in dem das potential ungleich Null ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Konkret:

Ventura · Anmeldungsdatum: 01.07.2014 Beiträge: 20

Aha Ok;
Vielen Dank, werde das so versuchen smile

Liebe Grüsse Ventura