Legendre Transformierte

phi · Gast

Moin, moin,

Definition/Konstruktion einer Legendre-Transformation:
(1) Nimm den Gradienten einer Funktion f(x), x=(x1,...,xn)) und setze die Komponenten von diesem zu neuen Koordinaten

(2) Definieren eine neue Funktion f* durch

.

Eigentlich kann die folgende Aufgabe nicht schwer sein. Es gibt davor ein Korollar:

, wobei hier mit den zweiten Ableitungen die Hessesche Matrizen gemeint sind, die zueinander invers sind. Als Beweis steht "Die Behauptung folgt mittels der Kettenregel aus der Formel in (2)"

Ich könnte es mir jetzt einfach machen und auf diesen Korollar verweisen, möchte es aber mittels der Kettenregel lösen. Hier die Aufgabe in IR^2:

Sei u : IR^2--->IR gegeben für welche die Legendre-Transformation

mit

umkehrbar/diffeomorph ist, und sei v die transformierte Funktion.

Zeige:

Das sind einfach die Derminanten der beiden zueinander inversen Hesse-Matrizen.

Wenn man (2) umformt und einsetzt, gilt

, und da

, kann man es auch so schreiben:

Aber mit Kettenregel komm ich nicht weiter, entweder hab ich Ableitungen von v nach x oder y, oder wenn ich die Kettenregel ganz und gar anwende, bekomme ich nur Identitäten wie u=u...

kennt jemand einen Trick?

Dank & Gruß, phi.