Kinematik 1D Aufgabe (Schwimmer)

Prof_Dr_Newbie · Gast

Meine Frage:
Zwei Schwimmer starten zeitgleich auf einer 50m-Bahn zu einem 1500-m-Rennen. Beide schwimmen mit konstanter Geschwindigkeit: Schwimmer A benötigt die Zeit 18:04 Minuten, B braucht aber 19:55 Minuten für diese Strecke:

a) Nach welcher Zeit wird der langsamere Schwimmer zum ersten Mal überrundet?
b) Welchen Abstand zum Startblock haben die Schwimmer in diesem Augenblick?

Meine Ideen:

benötigte Zeit für eine Runde:

Meine Idee wäre jetzt s_{A} und s_{B} gleichsetzen und dann nach t auflösen..
aber leider klappt das nicht... was mach ich denn falsch?
Ich schätze mal beide haben auch keine Anfangsposition oder..?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Du hast Recht, es ist ja kein Offset dabei, die beiden werden wohl an derselben Startposition starten. Deine Rechnungen sind soweit in Ordnung. Die Aufgabe ist seltsam, denn wenn die Bahn 50 Meter lang ist, dann können die beiden sich auf 1500 Metern sehr oft von den Wandseiten abstoßen und das ist ganz und gar keine konstante Geschwindigkeit, aber nehmen wir mal an, sie wäre konstant.

Das Einzige, was bei dir fehlt, ist:

und

sind deine absoluten Strecken, das heißt, da stehen nicht die Positionen der Schwimmer drin, sondern die insgesamt zurückgelegte Strecke. Kannst du das so umschreiben, dass die relative Position drinsteckt? Dann findest du auch die Lösung.

Prof_Dr_Newbie · Gast

Meinst du so etwa...

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Was sollen x1 und x2 sein, das versteh ich nicht ganz?

Nein, ich meinte einfach, dass man zum Beispiel eine Funktion suchen kann, die periodisch zwischen 0 und 50 Werte liefert. Da die Geschwindigkeit konstant ist, hast du eine Gerade, die zu 50 linear laufen muss und dann wieder umgekehrt zur 0 zurück, auch linear.

Es gibt bestimmt andere Ideen, aber ich habe mir einfach eine Dreiecksfunktion gebastelt, die genau das darstellt:

http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_wave

Das ist etwas kompliziert, ich weiß auch nicht, ob du sowas schon gesehen hast. Aber du hast sonst generell das Problem, dass du nicht weißt, wann der erste Schwimmer den zweiten wieder einholt, weil das irgendwann sein kann, da nach 50 Metern die Laufbahn zu Ende ist.

Dann bekommt jeder Schwimmer eine Position x(t), definiert über die (etwas sperrige) Triangle wave und du kannst beides plotten:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28{abs%2850*2%2F%2872.4%29*%28t-%2872.4%29*floor%28t%2F%2872.4%29%2B0.5%29%29*%28-1%29^%28floor%28t%2F%2872.4%29%2B0.5%29%29%29%2Cabs%2850*2%2F79.4*%28t-79.4*floor%28t%2F79.4%2B0.5%29%29*%28-1%29^%28floor%28t%2F79.4%2B0.5%29%29%29}%2Ct%2C0%2C100%29%2C

In der Rechnung musst du die beiden Funktionen gleichsetzen (das kann man evtl noch vereinfachen, indem man mit einer Fourierreihe nähert), aber das Lösen wird auch etwas schwierig. Du bekommst einen Wert um die 114 s heraus.

Prof_Dr_Newbie · Gast

X1 = Anfangswert und X2 = zB Position nach 1. Überrundung

Das mit der Triangel fällt mir doch ein bisschen schwer da wir das Thema noch garnicht in Mathe behandelt haben

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ja, danke, ich hab mich auch gewundert über den Zahlenwert.

Prof_Dr_Newbie · Gast

Danke GvC, für die Hilfe. hab das Ergebnis von b) auch rausbekommen dx=24m

Danke Yellowfur für deine Bemühung.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Okay, ich hab mir auch nochmal überlegt, dass meine Funktion zwar richtig anzeigt, welcher Schwimmer sich wo befindet, aber ohne die Gesamtstrecke ablesbar vorliegen zu haben, kann man nicht sagen, wann der erste den zweiten streckenmäßig überholt hat. Meine Funktion ist auch viel zu kompliziert.

Prof_Dr_Newbie · Gast