Eindimensionaler Potentialtopf

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

(a) Berechnen Sie die mittlere thermische Energie kT bei Raumtemperatur (25°C = 298.15 K).

(b) Betrachten Sie ein Wasserstoffatom in einem 40 Ä breiten Hohlraum eines Festkörpers. Nehmen Sie an, dass dieser Hohlraum in zwei Richtungen sehr viel enger ist als in der dritten Raumrichtung (z). Der Hohlraum kann also näherungsweise als 1-dimensionaler Kasten entlang der z-Achse angesehen werden. Wie viele Zustände gibt es, die eine Energie kleiner als kT aufweisen?

Das Wasserstoffatom ist ja in einem 1D-Potentialtopf mit der Länge

eingesperrt. Die Energiewerte, die es dann annehmen kann sind:

Da die potentielle Energie innerhalb des Kastens gleich null ist entspricht der Energiewert der kinetischen Energie (=thermische Energie?). Für den Grundzustand n = 1:

Wie mache ich jetzt weiter? Einfach alle Energiewerte ausrechnen bis ich irgendwann bei kT bin?

(c) Berechnen Sie die Energiediﬀerenz zwischen dem höchsten Zustand des obigen HAtoms mit Energie kleiner oder gleich kT und dem niedrigsten Zustand des obigen H-Atoms mit Energie größer kT. Berechnen Sie das Verhältnis dieser Energiediﬀerenz zu kT.

Dazu brauch ich ja b).

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21594

Zu b)

Es geht nicht um das Elektron im Wasserstoffatom, sondern um das Wasserstoffatom selbst. Also musst du dessen Masse einsetzen.

Dann hast du dich sicher mit den Potenzen 1 / 10^(-n) verrechnet; im Zähler wird daraus ein 10^n.

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

b) Okay. Die Masse des Wasserstoff-Atoms ist ja einfach m(Proton)+m(Elektron):

Für den Grundzustand n = 1:

Erster angeregter Zustand n=2:

Ich muss jetzt etwas improvisieren:

Da die Hauptquantenzahl quadratisch wächst:

D.h. es gibt 281 Zustände mit einer Energie E<kT.

spam · Anmeldungsdatum: 13.03.2014 Beiträge: 189

c) Die Energiedifferenz zwischen E(n=281) und E(n=282):

Im Verhältnis zu kT:

Stimmt das vom Rechenweg her (vor allem b))?