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kaschr1
Anmeldungsdatum: 12.10.2015
Beiträge: 4
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 kaschr1 Verfasst am: 12. Okt 2015 12:54 Titel: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Abstandes |
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Meine Frage:
Hi, dies ist eine Aufgabe auf meinem ersten Übungsblatt Statistische Mechanik, leider bin ich völlig auf dem Holzweg Volt ist die Lösung auch einfacher als gedacht, über Hilfe wäre ich mehr als dankbar!:)
"Betrachten Sie zwei nichtwechselwirkende Teilchen in einer eindimensionalen Box der La ?nge L, wobei jedes Teilchen jeden Ort in der Box mit gleicher Wahrscheinlichkeit besetzen kann (?Gleichverteilung?).
a) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung p(r) folgt fu ?r den Abstand r zwischen den beiden Teilchen? Verifizieren Sie, dass p(r) normiert und positiv ist."
Meine Ideen:
Der Abstand beider Punkte ist natürlich |x1-x2|, für den maximalen Abstand ist mir klar dass es in diesem Fall nur eine Möglichkeit gibt (theoretisch 2 aber uns interessiert ja nur der Abstand nicht der Ort der Teilchen), |
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rg2
Gast
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| rg2 Verfasst am: 12. Okt 2015 20:08 Titel: Re: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Abstandes |
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Das müsste rauskommen
=\frac{2}{L}- \frac{2r}{L^{2} } )
keine Ahnung wie man das mathematisch herleitet |
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kaschr1
Anmeldungsdatum: 12.10.2015
Beiträge: 4
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| kaschr1 Verfasst am: 13. Okt 2015 15:05 Titel: |
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Ok danke schonmal:) |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 13. Okt 2015 19:17 Titel: Re: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Abstandes |
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| rg2 hat Folgendes geschrieben: | Das müsste rauskommen
keine Ahnung wie man das mathematisch herleitet |
Die Herleitung ist eine einfache Übung in geometrischer Wahrscheinlichkeit. Man betrachte die gemeinsame Dichtefunktion der Positionen der beiden Teilchen. Das ist eine Gleichverteilung auf einem Quadrat mit der Seitenlänge  . Da es eine Gleichverteilung ist, ist die Wahrscheinlichkeit ) , dass der Abstand der beiden Teilchen kleiner/gleich  ist, gleich dem Flächenanteil an dem Quadrat, in dem die Bedingung erfüllt ist. Die Bedingung ist in einem Streifen um die Diagonale erfüllt, der durch zwei Parallelen zur Diagonale im Abstand  gebildet wird. Nicht zu diesem Streifen gehören 2 rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke mit der Kathetenlänge  . Die Fläche innerhalb des Streifens ist also ^2) . Der Flächenanteil und damit die Verteilungsfunktion ) des Abstands ist daher:
=P(X \leq r)=\frac {A}{L^2}=1-(1-\frac {r}{L})^2)
Ableiten nach ergibt die von dir genannte Dichtefunktion für den Abstand der beiden Teilchen. |
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rg2
Gast
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| rg2 Verfasst am: 13. Okt 2015 22:21 Titel: |
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Von geometrischer Wahrscheinlichkeit hatte ich bisher noch nichts gehört
Ich hatte beim Rumsuchen die Betaverteilung gefunden
=c*x^{a} (1-x)^{b} )
und für a=0, b=1, c=2, L=1
ergibt das die Lösung
dann hatte ich mir überlegt wie die Verteilung aussieht
wenn man keine Strecke hat sondern eine Fläche
auf der die Punkte liegen
(zB Kreis oder Quadrat)
hier hat die Verteilung sehr große Ähnlichkeit mit der Betaverteilung
aber ich konnte keine Werte für a bzw b finden |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 13. Okt 2015 23:36 Titel: |
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@Huggy: wie kommt man ohne Geometrie drauf? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 14. Okt 2015 00:06 Titel: |
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Nicht so schön, aber ziemlich geradeaus:
 = \int_0^L \frac{dx_1}{L} P(x_1-r \le x_2 \le x_1 +r) \hspace{13cm}
<br />
= \int_0^r \frac{dx_1}{L} P(0\le x_2 \le x_1+r) + \int_r^{L-r} \frac{dx_1}{L} P(x_1 - r\le x_2 \le x_1+r)+ \int_{L-r}^L \frac{dx_1}{L}P(x_1 - r\le x_2 \le L)
<br />
= \int_0^r \frac{dx_1}{L} \frac{x_1+r}{L} + \int_r^{L-r} \frac{dx_1}{L} \frac{2r}{L} + \int_{L-r}^L \frac{dx_1}{L} \frac{L-x_1+r}{L} \hspace{9cm}
<br />
= ... \hspace{19.5cm}
<br />
) |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 14. Okt 2015 07:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | @Huggy: wie kommt man ohne Geometrie drauf? |
Die geometrische Betrachtung ist lediglich ein Hilfsmittel, um sich die Bereiche zu veranschaulichen, über die man die gemeinsame Dichtefunktion der Positionen der beiden Teilchen integrieren muss, um die Wahrscheinlichkeit zu bekommen. Bei gegebener Position x des einen Teilchens muss die Position y des anderen Teilchens in dem Bereich [Max (0, x - r), Min (1, x + r)] liegen. Wenn man nun die gemeinsame Dichtefunktion über diesen Bereich integrieren will und anschließend über x, muss man Fallunterscheidungen machen je nachdem, welcher Term nun gerade die untere und die obere Grenze definiert.
Schon diese Fallunterscheidung wird durch eine geometrische Darstellung des Integrationsgebiets transparenter. Wenn nun aufgrund einer Gleichverteilung der gemeinsamen Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit proportional zur Fläche des Integrationsgebietes ist, spricht man von geometrischer Wahrscheinlichkeit. Man kann dann häufig die Integration durch eine andere, einfachere Form der Flächenbestimmung ersetzen. |
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kaschr3
Anmeldungsdatum: 03.01.2016
Beiträge: 1
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| kaschr3 Verfasst am: 03. Jan 2016 12:41 Titel: mhmm... |
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| kaschr1 hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
leider bin ich völlig auf dem Holzweg Volt ist die Lösung |
Genau.... Volt!  |
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