Kepler und geschlossene Bahnen

bond · Anmeldungsdatum: 22.11.2015 Beiträge: 14

Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe:
Wir nehmen ein Zentralpotential der Form

wobei

gilt.
Zeigen Sie dass die gebundenen Bahnen die nicht kreisförmig sind, nicht geschlossen sund und berechne die Drehung des Perhiels nach einem Umlauf.

Ich dachte daran mit dem Satz von Bertrand zu arbeiten. Wir haben diesen definiert als:

Nach dem Satz von Betrand kann es sich nur um geschlossenen Bahnen handeln wenn

ein rationaler Teiler von

ist.

Meine erste Idee war nun das Potential einfach einzusetzen. Ich erhalte dann das Integral:

Hier habe ich versucht den Nenner zu faktorisieren sowohl mit der abc Formel als auch mit der pq Formel. Ich erhalte da ...

oder mit der pq Formel:

Ehrlich gesagt sehe ich hier nciht wie ich damit nun eine Partialbruchzerlegung durchführen kann um das Integral zu berechnen.

Kann mir jemand helfen?

bond · Anmeldungsdatum: 22.11.2015 Beiträge: 14

Kann mir noch jemand helfen?

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Eine schlechte und zwei gute Nachrichten!

Die erste gute Nachricht:
Das Integral, das du hingeschrieben hast, ist leicht ausführbar. Dazu muss der Nenner nicht faktorisiert werden und eine Partialbruchzerlegung gemacht werden. Es genügt, den Nenner durch quadratische Ergänzung auf die Form

zu bringen. Die Substitution

führt dann zu einem Standardintegral.

Die schlechte Nachricht:
Deine Ausgangsformel ist nicht korrekt. Der Nenner muss unter einer Wurzel stehen.

Die zweite gute Nachricht:
Auch das korrekte Integral sollte lösbar sein. Zunächst macht man die Substitution

Danach steht

nur noch als quadratische Funktion unter der Wurzel. Da macht man wieder eine quadratische Ergänzung und geht dann weiter wie oben beschrieben vor.

bond · Anmeldungsdatum: 22.11.2015 Beiträge: 14

Da habe ich die Formel falsch abgeschrieben.

Den Ausdruck unter der Wurzel habe ich nun quadratisch ergänzt. Da erhalte ich schlussendlich:

Ich setze mal der Übersichthalber

Dann erhalte ich:

Laut Tafelwerk ist es ein Integral der Form

Wenn

dann erhält man:

wenn

dann erhält man:

Ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher in welchen Fall ich nun bin da

entweder größer Null oder kleiner Null ist abhängig davon ob

oder

gilt ...

Wie mache ich mit den Ausdruck nun weiter um die Aufgabe zu lösen?

bond · Anmeldungsdatum: 22.11.2015 Beiträge: 14

Kann mir noch jemand helfen?

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Bei deiner Rechnerei ist einiges schief gegangen, eigentlich alles.

(1) Woher kommt plötzlich die 2 im Zähler?

(2) Wohin ist der

-Term unter der Wurzel verschwunden?

(3) Die quadratische Ergänzung ist falsch. Man kann natürlich erst

ausklammern. Aber der ausgeklammerte Term kann nicht völlig verschwinden.

(4) Dein Endergebnis hat nicht die Form des von dir aufgeführten Integrals aus dem Tafelwerk. Dein Endergebnis hat die Form

Das Integral aus dem Tafelwerk hat kein Quadrat unter der Wurzel und nicht den Term

. Wenn man

substituiert, taucht das

außerhalb der Wurzel wieder auf. Daher rührte mein Vorschlag, mit der Substitution

zu beginnen.

Man kann sich die Rechnerei sparen, wenn die Formelsammlung das Integral

kennt. Relevant ist der Fall mit

.