Welcher Ansatz für harmonischen Oszillator?

oszillator · Gast

Meine Frage:
Ich bin gerade dabei das Thema zu wiederholen und nun etwas verwirrt (?) bzw würde ich das gerne genauer verstehen und nicht einfach nur hinnehmen.
Um die DGL des harmonischen Oszillators zu lösen nimmt man ja den exponentiellen. Nun kann man aber auch den cosinus (oder sinus?) Ansatz wählen.

Meine Ideen:
Wo liegt der Unterschied bzw welche Ansätze gibt es denn nun genau? Ich würde mir das jetzt so erklären, dass man ja e^irgendetwas umschreiben kann in sinus und cosinus. Macht das einen Unterschied wann man welchen nimmt oder ist das einfach nur Geschmackssache?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

oszillator · Gast

oki doki danke (:

Also kann ich als Ansätze

nehmen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Das kannst Du machen wie Du lustig bist.. Hauptsache Du findest die korrekte Lösung.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Zur Erklärung:

Die DGL des harmonischen Oszillators ist eine DGL zweiter Ordnung. Die allgemeine Lösung ist daher eine Linearkombination zweier linear unabhängiger, fundamentaler Lösungen.

Der Ansatz mittels Exponentialfunktion führt auf

wobei Groß- bzw. Kleinbuchstaben für komplexe bzw. reelle Größen stehen.

Im Falle nicht-verschwindender Dämpfung wird lambda ungleich Null sein und damit der naive Ansatz mittels Sinus und Cosinus etwas lästig, da diese Funktionen dann entweder komplexe Argumente haben, oder man den Ansatz eben um die reelle e-Funktion erweitern muss.

Wenn man jetzt alle Terme in Sinus sowie Cosinus zusammenfasst, kann man die beiden Ansätze direkt vergleichen und die jeweiligen Konstanten ablesen.

Dabei ist noch zu berücksichtigen, dass die Konstanten A_1,2 zunächst auch komplex sein dürfen, häufig jedoch nur reelle Linearkombinationen physikalisch sinnvoll sind. Die Konstanten ergeben sich dann im wesentlichen aus den Parametern in der DGL sowie aus den Anfangsbedingungen.