Variationsverfahren: Grundzustand von Wasserstoff

TheLardos · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich habe momentan Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

In dieser Aufgabe wollen wir das Viariationsverfahren anhand des bereits bekannten Wasserstoffproblems testen:

Der Hamilton Operator lautet:

wobei e die Elementarladung ist. Als Ansatz für die Wellenfunktion wählt man die Separation:

a) Geben Sie für den Grundzustand sowohl die Wellenfunktion als auch die Energie der exakten Lösung an.

Meine Ideen:
Also als erstes habe ich Nabla Quadrat in Kugelkoordinaten hingeschrieben und auf die Wellenfunktion angewendet:

Was mich jetzt nur wundert:
In der Vorlesung hatten wir ein Beispiel mit nur 1 Dimension x. Dort war nun der nächste Schritt die Berechnung der kin. und pot. Energie.
Bei der kin. Energie wurde der Erwartungswert des Impulses berechnet.
Nun habe ich hier aber eine Wellenfunktion in 3 Dimensionen und ich bin unschlüssig was die Berechnung der kin. Energie angeht. Es muss ja etwas skalares rauskommen, aber ich integriere doch über einen Vektor?

Also ich rechne ja praktisch folgendes:

Und da verstehe ich nicht wie ich das integrieren soll...

Gruß
Luca

TheLardos · Gast

Oh ich bin ein Idiot... LOL Hammer

Ich hatte irgendwie das Nabla Quadrat nicht berücksichtigt. So ergibt es den Laplace Operator und da kommt das Skalar her Big Laugh

Tut mir leid. Manchmal erkennt man das wesentliche erst wenn man es in ein Forum schreibt Big Laugh