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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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 pulse Verfasst am: 15. Jan 2016 16:34 Titel: |
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Hallo,
im Prinzip handelt sich um ein Feder-Körper-System, wo der Körper im Wasser hin- und herschwingt. Die DGL ist leicht zum herleiten und lautet:
x'+(D/m)x = 0)
m ist die Masse des Körpers, b der Koeffizient für die Reibung im Wasser und D die Federkonstante der Feder. Ich soll die Abklingkonstante \gamma und die Frequenz \omega des gedämpften Systems berechnen.
Naja zu Vereinfachung kann man auch die DGL folgendermaßen hinschreiben:
Ja, wenn b und m weiß, kann ich auf \gamma schließen. Aber wie komme ich auf das?
Im Skript steht folgendes:
x zweimal abgeleitet und eingesetzt in , dann fallen die e^'s und A weg und man hat:+D/m =0) anschließend wurde auf w umgeformt.
Aber ich verstehe nicht ganz wie man auf den Ansatz da kommt. Kann mir wer das erklären bitte?
Gruß
pulse
Zwei Beiträge zusamengefasst, damit's nicht so aussieht, als ob schon geantwortet wird. Steffen
ahh ok, mir ist jetzt klar, wie man auf die Eigenfrequenz w0 und Abklingkonstante  kommt.
1. Fall: 
2. Fall: 
3. Fall: 
Fall 1 ist der Schwingfall, d.h. die Schwingung wird da nur leicht gedämpft richtig? Wir dann auch die Frequenz verändert und wie berechne ich diese dann? |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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Duncan
Gast
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| Duncan Verfasst am: 15. Jan 2016 17:59 Titel: |
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| pulse hat Folgendes geschrieben: |
1. Fall:
2. Fall:
3. Fall:
Fall 1 ist der Schwingfall, d.h. die Schwingung wird da nur leicht gedämpft richtig? |
Leider nicht richtig. |
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 15. Jan 2016 18:20 Titel: |
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Danke. Ja in dem Link sieht man wie das ganze gerechnet wird, was mir eigentlich auch klar ist.
Sorry hab mich außerdem mit den Fällen vertan. Der 3. Fall ist der Schwingfall, also da wird wird die Schwingung gedämpft.
Bei Fall1 nennt man das "Kriechfall" und hier schlägt es einmal aus und es geht dan ganz langsam richtung Auslenkung x = 0.
Fall 2 nennt sich aperiodischer Grenzfall und hier schlägt es auch einmal aus versucht, aber so schnell wie möglich Richtung Auslenkung x=0 zu gehen.
So müsst es jetzt stimmen.
Meine Fragen:
1. Stimmt es, dass beim Fall 3, also Schwingfall, auch die Frequenz der gedämpften Schwingung anders ist als der von der Ungedämpften Schwingung?
2. Also habe ich dann eine Eigenfrequenz w0 bei der ungedämpften Schwingung und dann eine Kreisfrequenz w bei der gedämpften Schwingung? |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 15. Jan 2016 18:22 Titel: |
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| pulse hat Folgendes geschrieben: |
Meine Fragen:
1. Stimmt es, dass beim Fall 3, also Schwingfall, auch die Frequenz der gedämpften Schwingung anders ist als der von der Ungedämpften Schwingung?
2. Also habe ich dann eine Eigenfrequenz w0 bei der ungedämpften Schwingung und dann eine Kreisfrequenz w bei der gedämpften Schwingung? |
auch das sieht man in dem verlinkten Beitrag. |
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 15. Jan 2016 19:20 Titel: |
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Okay danke.
Aber warum ist die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung einfach der Imaginärteil? |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 15. Jan 2016 19:30 Titel: |
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| pulse hat Folgendes geschrieben: | Okay danke.
Aber warum ist die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung einfach der Imaginärteil? |
weil genau dieser Imaginärteil (neben der Variablen t) nach Anwendung der Eulerschen Indentität im Argument vom Sinus und Cosinus auftaucht. Und das Argument im Sinus und Cosinus ist bei einer Schwingung nunmal ωt.
Gruß |
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 15. Jan 2016 20:07 Titel: |
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Kannst du mir das näher erklären bitte?
Ich weiß nur das die eulerische Identität, dass ist. Und das Argument ist der Winkel einer komplexen Zahl. Also jener Winkel der zwischen Vektor und pos. Realachse eingeschlossen wird.
Ich kann hier den Zusammenhang noch nicht sehen leider. |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 15. Jan 2016 20:47 Titel: |
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na, die beiden Lösungen des charakteristischen Polynoms sind doch für den Fall, dass eine gedämpfte Schwingung vorliegt:
Die beiden Lösungen kann man nun in die Ansatzfunktion der DGL einsetzen. Mach das doch mal.
Und dann wendest Du Eulersche Identität an. Damit meine ich nicht den Sonderfall, bei dem φ=pi ist, sondern den allgemeinen Fall:
 \pm i\cdot \sin \left( \varphi \right) )
Was steht dann im Argument vom Sinus und Cosinus? |
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 15. Jan 2016 21:29 Titel: |
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Danke.
Was meinst du mit Ansatzfunktion? Etwa nicht die charakt. Gl. selbst? Denn das wär ja sinnlos und in die DGL kann man das doch auch nich einsetzen, da das ja kein x(t) ist, sondern nur Lsg von der charakteristischen Gleichung.
Die Argumente von Sinus und Cosinus? Ich weiß nicht, was damit gemeint ist.
Z.B. das Argument einer komplexen Zahl ist:=\phi)
Das verstehe ich darunter. |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 15. Jan 2016 21:48 Titel: |
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| pulse hat Folgendes geschrieben: | Danke.
Was meinst du mit Ansatzfunktion? |
Mit der Ansatzfunktion meine ich die Funktion, welche man zur Lösung der DGL angesetzt hat:
=A\cdot e^{\lambda\cdot t } )
Und das Argument von z. B. sin(φ) ist φ. Also das, was beim Sinus in der Klammer steht.
EDIT:
Bitte beachten:
Wir haben zwei Lösungen für Lambda. Daher sind die Funktionen
=A \cdot e^{\lambda_{1} \cdot t } ) und
=A \cdot e^{\lambda_{2} \cdot t } ) Lösungen der DGL, und nach dem Superpositionsprinzip auch alle Funktionen
=A_{1} \cdot e^{\lambda_{1} \cdot t } + A_{2} \cdot e^{\lambda_{2} \cdot t }) |
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 15. Jan 2016 22:15 Titel: |
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Ah ok. Also ich hab das jetzt eingesetzt und es kommt raus:
=A\cdot e^{-\gamma +i\omega_0 \sqrt{1-D^2}})
Und dann:
=e^{-\gamma}\cdot(cos(\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)+isin(\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)))
Okay, stimmt und von Argument von sinus oder halt cos kann man die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung ablesen, richtig?
Zuletzt bearbeitet von pulse am 15. Jan 2016 22:40, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 15. Jan 2016 22:40 Titel: |
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Sehr gut, danke.
=e^{-\gamma}\cdot(cos(\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)+i\sin(\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)))
Andere Frage: das i wird hier manchmal einfach so weggelassen, warum? Darf man das? |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 15. Jan 2016 23:01 Titel: |
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| pulse hat Folgendes geschrieben: |
Andere Frage: das i wird hier manchmal einfach so weggelassen, warum? Darf man das? |
Ja, die imaginäre Einheit wird nicht mehr "benötigt".
Der Realteil und der Imaginärteil sind zwei reelle Lösungen der harmonischen Schwingung. Und aus ihrer Kombination lässt sich durch Variation der reellen Konstanten A1 und A2 (die hast Du übrigens in Deinen letzten beiden Beiträgen vergessen) jede spezielle Lösung der DGL bestimmen.
Die Konstanten A1 und A2 sind dann durch die Anfangsbedingungen (Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit) zu ermitteln. |
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 15. Jan 2016 23:27 Titel: |
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Ohh, stimmt.
Also eigentlich ursprünglich so:
=Ae^{-\gamma}\cdot(cos(\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)+sin(\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)))
Aber warum sind das dann nach dem reinmultiplizieren verschiedene Konstanten? Weil imaginär- und realteil zwei verschiedene reelle lösungen sind?
Hmm, aber ich seh das jetzt nicht wirklich auf den ersten Blick. |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 15. Jan 2016 23:44 Titel: |
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die zwei unterschiedlichen Konstanten kommen auch nicht durch das reinmultiplizieren.
Es gibt ja zwei Lösungen für das Lambda. Beide führen zu einer Lösung der DGL. Und auch die Summe aus beiden Lösungen ist wieder eine Lösung (siehe nachträglich editierten Hinweis in meinem 5. Beitrag). Die allgemeine Lösung der DGL ist die Summe der beiden Lösungen.
Wir brauchen auch zwei Konstante für die beiden Anfangsbedingungen. |
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 16. Jan 2016 00:11 Titel: |
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Also
=A_1e^{-\gamma}\cdot(cos(\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)+sin(\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)) + A_2e^{-\gamma}\cdot(cos(-\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)+sin(-\omega_0 \sqrt{1-D^2}t)))
so für den Schwingfall?
Muss ja jetzt nur für diesen gelten, da wir ja oben das "i" aus der Wurzel rausgeholt haben und somit angenommen haben, dass unter der Wurzel etwas neg. steht und das kommt ja nur vor, wenn die Abklingkonstante kleinerr ist wie die Eigenkreisfrequenz und das ist der Schwingfall. |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 16. Jan 2016 13:51 Titel: |
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Kontrollier bitte noch mal die Vorzeichen. Einmal muss ein Minus zwischen Cosinus und Sinus. Und bei der e- Funktion fehlt die Variable t.
Und ja, das gilt nur für den Schwingfall. Wenn nichts schwingt, kommt in der Lösung auch kein Sinus oder Cosinus vor, sondern nur e- Funktionen.
Normalerweise würde man die Konstanten A1 und A2 nicht ausklammern, sondern vor dem Sinus und Cosinus stehen lassen. Dann fasst man jeweils Sinus und Cosinus zusammen:
 =e^{-\delta t}\left[ \left( A_{1}+A_{2}\right) \cos \left( \omega _{d}t\right) +i\left( A_{1}-A_{2}\right) \sin \left( \omega _{d}t\right) \right] )
Für (A1 + A2) und (A1 - A2) kann man nun einfach zwei neue Konstanten einführen. |
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pulse
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 112
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| pulse Verfasst am: 16. Jan 2016 15:08 Titel: |
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Ahh ok, danke.
1. Aber diese von dir genannte x(t) gilt nur für den Schwingfall jetzt oder? Da wir ja nur eine gedämpfte Kreisfrquenz in diesem Fall haben.
2.  = Ae^{-\gamma t}\cdot sin(\omega_d t + \phi)) kann man ja auch schreiben für den Schwingfall. Dises e^ vorher ist ja für den Realteil und die Phasenverschiebung mit  braucht man, um den cos zu "ersetzen"?
Hier kann man z.B. sehen, dass es ein bisschen verschoben ist: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2Bcos%28x%29+and+sin%28x%29 |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 16. Jan 2016 21:35 Titel: |
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| pulse hat Folgendes geschrieben: |
1. Aber diese von dir genannte x(t) gilt nur für den Schwingfall jetzt oder? Da wir ja nur eine gedämpfte Kreisfrquenz in diesem Fall haben.9 |
Ja, das habe ich aber doch bereits im letzten Beitrag geschrieben, oder nicht?
| pulse hat Folgendes geschrieben: |
2. kann man ja auch schreiben für den Schwingfall. Dises e^ vorher ist ja für den Realteil und die Phasenverschiebung mit braucht man, um den cos zu "ersetzen"?
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Die Phasenverschiebung hängt ja mit den Anfangsbedingungen zusammen. Denkt man sich z. B. ein Pendel, dann kann man ja z. B. das Pendel zu Beginn ein bisschen auslenken und dann loslassen. In diesem Fall wäre die Ortskoordinate zum Zeitpunkt Null gleich der Auslenkung. Die Anfangsgeschwindigkeit wäre aber Null. Die Schwingung wäre dann eine reine Cosinisschwingung. Geben wir dem Pendel zu Beginn in der Gleichgewichtslage einen kleinen Schubs, so haben wir nur eine Anfangsgeschwindigkeit, und damit eine reine Sinusschwingung. Wir können natürlich auch beides tun: Das Pendel ein wenig auslenken, und ihm gleichzeitig einen kleinen Schubs mitgeben. Das wäre dann der allgemeine Fall, und dieser lässt sich eben entweder durch einen phasenverschobenen Cosinus (oder Sinus) beschreiben, oder durch eine Kombination aus Cosinus und Sinus (beide Darstellungsformen sind gleichwertig).
Mathematisch kann man mit Hilfe der Additionstheoreme von einer Darstellungsform in die jeweils andere umrechnen. Man muss dann natürlich die beiden "neuen Konstanten" A und φ durch die "alten Konstanten" A1 und A2 ausdrücken.
Welche Darstellungsform man wählt ist ein bisschen Geschmacksache. Es hängt auch davon ab, was von der Schwingung bekannt ist: Amplitude und Phasenwinkel, oder Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit. |
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