elektrostatische Kraft einer Hohlkugel

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden

Hallo,

ich hab' hier grad' mal wieder 'ne Aufgabe zu der mir noch etwas der zündende Gedanke fehlt. Vielleicht hat ja wieder jemand 'ne schöne Idee. :)

Erster Schritt: gegeben ist eine dünne metallische Hohlkugel mit dem Radius r, die die Ladung Q trägt. Man sägt diese jetzt entlang einer Ebene durch den Mittelpunkt auseinander. Welche Kraft wird daraufhin benötigt, beide Teile zusammenzuhalten?

Zweiter Schritt: wie sieht das ganze aus, wenn die Schnittebene nicht durch den Mittelpunkt sondern im Abstand s von diesem verläuft?

Aber zunächst würde mich erstmal nur der Trick oder der Ansatz hinter dem ersten Schritt interessieren. Die Ladung der beiden Halbkugeln ist ja dann einfach Q/2, aber alle Einzelkräfte aufzusummieren erscheint mir etwas aufwändig, zumal das im zweiten Schritt ja nicht besser wird.

Danke schonmal,
para

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Das ganze aufzusummieren ist zwar Knochenarbeit aber nicht wirklich "schwierig". Das sieht irgendwie nach einem Trick aus, aber ich habe eigentlich momentan keine Idee...

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Naja - ich hoffe Du fühlst Dich nun nicht gefrotzelt weil Dir das auch eingefallen wäre (es ist wie gesagt eher trivial und nicht sehr trickreich) - aber immerhin bekommt man relativ einfach eine Lösung:

Zunächst mal wirkt auf jedes Flächenelement der Kugel eine gewisse Oberflächenspannung

, da die Ladungen ja nach aussen "wollen".

Die Energiedichte des elektrischen Feldes ist bekanntlich

Das Feld in Entfernung r vom Mittelpunkt der Kugel ist (ausserhalb; innen ists ja Null)

Die Energiedichte daher

Ausummiert über das Volumen von R bis Unendlich ergibt dies

Wird die Kugel virtuell vergrössert, so sinkt die Energie, was aber durch die Gesamtwirkung der Oberflächenspannung auf der Oberfläche erklärt wird:

Daher

Man braucht nun nur noch die Gesamtwirkung dieser Oberflächenspannung in z-Richtung zu integrieren (Oberflächenintegral auf Halbkugel):

Für den allgemeinen Fall integriert man dann eben nicht über die gesamte Halbkugel sondern

Nun bin ich zu faul für das Zusammenfassen, das Integral ist jedenfalls

Für den Fall (1) ist dies einfach 1/2...wodurch man die Lösung schon fast dortstehen hat

Naja - jetzt gehts ab zu was anderem ...

para · Moderator Anmeldungsdatum: 02.10.2004 Beiträge: 2874 Wohnort: Dresden