Modifiziertes Gravitationspotenzial

Mondfinsternis · Gast

Guten Tag,

ich brächte mal einen Rat zu folgender Aufgabe.

Allgemein ist bekannt, dass die Bahnkurve

eines Teilchens im Zentralkraftfeld aus dem folgenden Integral bestimmt werden kann.

Das effektive Potenzial ist wie folgt definiert:

Es soll nun das modifizierte Gravitationspotenzial betrachtet werden.

Die eigentliche Aufgabe besteht nun darin zu untersuchen, ob es für das modifizierte Gravitationspotenzial geschlossene Bahnkurven im Bereich E<0 gibt. Dazu soll das obige Integral mit der Substitution

und

Desweiteren soll man einen Ausdruck für 1/r finden in Abhänigkeit von \varphi und daraus eine Aussage über den Verlauf der Bahnkurve ableiten.

Könnte mir da vielleicht jemand etwas helfen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Wobei brauchst Du denn Hilfe? Du hast da doch schon ganz gute Tipps gegeben.

Mondfinsternis · Gast

Ich bekomme einfach keinen gescheiten Ausdruck heraus, wenn ich die Substitution und das unbestimmte Integral verwende.

Anmerkung: Das Hilfsintegral in meinem ersten Beitrag beinhaltet einen Fehler, richtig lautet es wie folgt.

Wo liegt mein Fehler?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Dein a sollte zB nicht von r bzw x abhängen. Für die Substitution doch mal explizit aus...

Mondfinsternis · Gast

Und warum sollte es das nicht?

Mir fehlt wirklich jeglicher Ansatz, könntest du mir vielleicht diesen machen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Weil das a in der angegeben Formel eine Konstante ist.

Schau mal hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

Mondfinsternis · Gast

Hier mal meine Berechnung:

Ich habe in dem angegebenen Integral das 1/r^2 durch x^2 ersetzt und die partielle Integration angewendet. Als Hilfe habe ich das Hilfsintegral verwendet.

Ist das soweit korrekt? Im nächsten Schritt würde ich die Ausdrücke für die Konstanten a und c ergänzen und die Substitution rückgänig machen, sprich x durch 1/r bzw. x^2 durch 1/r^2 austauschen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Nein, die Substitution am Anfang ist schon falsch. Schau Dir nochmal in Ruhe an wie das funktioniert.