Fläche und Tangentialebene

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Meine Frage:
Hallo die Aufgabe lautet :
Die Gleichung
x^2 + 4y^2 = z^2
beschreibt eine Fläche im R^3.
a) Beschreiben Sie, wie diese Fläche aussieht (Hinweis: Betrachten Sie die durch die
Gleichung definierten Linien bei konstanten Werten der z-Koordinate).
b) Berechnen Sie einen Vektor, der im Punkt (x0; y0; z0) = (3; 2; 5) senkrecht auf diese
Fläche steht. (Hinweis: Die Gleichung der Fläche kann als Niveau
Fläche f(x; y; z) = 0
einer stetig differenzierbaren Funktion f interpretiert werden.)
c) Geben Sie die Parametergleichung einer Geraden an, die im Punkt (3; 2; 5) senkrecht auf
die Fläche ist. Geben Sie die Gleichung einer Ebene an, die im Punkt (3; 2; 5) tangential
an die gegebene Fläche ist. (Hinweis: Sei n ein Normalenvektor und x0 ein Punkt der
Ebene. Dann ist die Ebene die Menge aller Punkte x, für die x -x0 senkrecht auf n ist.)

Meine Ideen:
zu a) Ich würde sagen dass ist eine Art Sanduhr bzw 2 Entegengesetzte Kegel die ihre spitzen im Ursprung haben der eine ist dann nach oben und der andere nach unten geöffnet .

denn wenn man die Gleichung nach z Umstellt ergibt sich + oder - Wurzel(x^2+4y^2) . Und weil y^2 noch den faktor 4 hat sollte das ein elliptischer Kegel sein stimmt das ?

zu b ) das könnte der gradient von f sein ausgewertet an dem Punkt P
mit f(x,y,z)= x^2+4y^2-z^2
also:

bei c)
Eine gerade hat die gleichung :

wobei a ein Punkt und b ein richtungsvektor sien soll .

Wenn die Gerade nun senkrecht auf einen Punkt stehen soll .
Dann heißt das der Punkt (3,2,5) = a und der richtungsvektor b ist der Gradient an diesem Punkt, also

Eine tangentialebene hat die Formel

Mein ergebniss ist dann :

was sagt ihr hierzu,stimmen meine Überlegungen bzw Ergebnisse?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Sieht gut aus! Thumbs up!