DGL Lösungsansätze - harmonischer Oszillator

teelicht · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich rechne gerade Übungsbeispiele für meinen Klausuren durch und muss dafür auch DGLs lösen können. Leider hatten wir DGLs noch nicht wirklich in der Vorlesung, weshalb ich mir jetzt was im Internet rausgesucht habe, damit ich die Übungen machen kann.
Es geht um die Ansätze für die partikuläre Lösung.

http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html

Hier ist der Link, den ich angeschaut habe.

Meine Ideen:
Ich konnte meine Aufgabe lösen - es ging um einen harmonischen Oszillator mit externen Kraft - , aber eher mehr durch ausprobieren.

Die Kraft war:

und der passende Ansatz

Der andere, den es auf der Seite für sin/cos gibt, geht nicht.

Ich habe das Bespiel nun geschafft, aber ich wüsste gerne was "Lösung der charakteristische Gleichung" auf dieser Seite bedeutet. Man soll ja immer danach seinen Ansatz wählen.

Könnte mir das bitte jemand erklären?
Danke smile

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1213

Hallo,

Du hast doch sicher zunächst die homogene Form der DGL gelöst.
Beispiel Federpendel:

Ansatz z. B. :

zweimal nach t abgeleitet:

Den Ansatz in die DGL eingesetzt:

Die charakteristische Gleichung ist dann:

Man hätte auch einen Exponentialansatz wählen können:

In die DGL eingesetzt:

Dann wäre die charakteristische Gleichung:

Gruß

teelicht · Gast

OK, also das beta (von der Internet-Seite) ist in meinem Fall omega.
Und k/m ist ja omega². Aber in wie fern löst das die Gleichung wenn ich für lambda = omega einsetze. Das ergibt doch nicht 0. grübelnd

Oder wie ist das gemeint?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1213

Hallo,

in dem Fall bekommt man für lambda:

zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Und damit die Lösung der homogenen Form der DGL:

Mit Hilfe der Eulerschen Identität und der Additionstheoreme lässt sich diese Lösung wieder überführen in:

Gruß

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

teelicht · Gast

OK, danke. Ich muss mir das nochmal anschaun. So ganz hab ichs noch nicht.

Ja also die homogene Lösung bekomme ich hin.

Es geht um die Wahl des Ansatz bei der partikulären Lösung.
Konkret darum, warum ich bei meinem Problem diesen Ansatz

und nicht

wählen muss.
Da war halt der Hinweis, dass der erste Ansatz gewählt werden soll, wenn w eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Nur wenn die Erregerfrequenz

zufällig gleich dem

(also gleich der Eigenfrequenz) ist, musst du den ersten Ansatz wählen, ansonsten den zweiten.

Das

ist ja die Lösung der homogenen Differenzialgleichung.

Würdest du für diesen Fall den zweiten Ansatz wählen , wäre die Gleichung für das A unbestimmt, da durch Null dividiert würde. Daher die Ergänzung.

teelicht · Gast

OK, danke. Ja jetzt hab ichs verstanden. smile