Kepler Problem [Drehimpulserhaltung]

balance · Anmeldungsdatum: 14.11.2012 Beiträge: 125

Ein Planet mit konstanter Masse m bewege sich um eine Sonne mit Masse M. Die Bewegung finde in der xy-Ebene statt. Die Bewegungsgleichungen lauten in ebenen Polarkoordinaten

wobei G die Newt. Grav. Konstante meint.

Zeigen Sie unter Benützung der Bewegungsgleichungen, dass die z-Komponente des Drehimpulses

eine Konstante der Bewegung (d.h. zeitlich konstant) ist. Benützen
Sie die Gleichung für

um

(1)

zu erhalten.

Lösung: Der Drehimpuls ist

. Ableiten nach der zeit ergibt

Das Quadrat des Drehimpulses ist

. Daraus folgt

. Dies eingesetzt in die erste Bewegungsgleichung ergibt

Nun... Ich raf das irgendwie nicht. Ich galube, ich versteh nicht was die von mir wollen. Ich verstehe das wie folgt:

1) Zeige das der Drehimpuls unter den gegebenen Umständen erhalten ist.
2) Zeige nun mittels

die Gleichung (1)

Nun ist mir klar, dass die Ableitung des Drehimpulses zeitlich konstant sein muss, falls er erhalten ist, sprich: Die 1. Ableitung ist null.

Die Frage ist jetzt, wieso ist

? Ich meine, es ist klar, dass es 0 sein muss, wenn man die Fragestellung

stellt, was wir hier aber nicht tun. Wir möchten ja zeigen, dass gezwundenermassen aus dem Akt des Ableitens die null folgt. Sonst würden wir ja die Behauptung für den Beweis brauchen. Sprich: Es sollte eine math./physk. erklärung geben, wieso

gilt [wobei diese Erklärung nicht sien darf: Der Drehimpuls ist erhalten]

Ich glaube, ich versteh nicht was die von mir wollen. Also was genau passiert hier?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Bei der Bewegung in einem beliebigen Zentralfeld U(r) (hier: Schwerefeld Sonne)
hat man Zentralkräfte

Damit verschwindet das auf das Zentrum bezogene Drehmoment

und der entsprechende Drehimpuls

bleibt erhalten. Daraus folgen,
ganz nebenbei, die Bewegung in einer Ebene nebst Flächensatz (entspr. Kepler II).