Lagrange Mechanik

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Hallo,

wir haben vor kurzem in der Vorlesung über den "Lagrange II Formalismus" gesprochen. Jetzt habe ich ein paar Übungsaufgaben dazu gemacht und komme bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter.

Aufgabe:
Zeigen Sie: für ein System mit n Zwängen

sind die Bewegungsgleichungen die Lagrangegleichungen II Art mit einer Lagrangefunktion

. Die

sind Zahlen und es gilt die Summenkonvention

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Und wovon sollst du ausgehen? Vom D'Alembert'schen Prinzip?

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Mehr steht da nicht. Hmm

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Hat niemand eine Idee?

Die Lagrange Fkt. ist definiert als L=T-V

Wie soll ich da jetzt die Zwänge mit reinkriegen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21599

Die Frage ist weiterhin, wie du eine Aufgabe "Zeigen Sie ..." gelöst werden soll, wenn keine Basis bzw. kein Kontext für den geforderten Beweis gegeben ist.

Anyway: der Ansatz funktioniert über sogenannte Lagrange-Multiplikatoren; das sind die s_i in deiner Angabe. Die Zwangsbedingungen werden repräsentiert durch die die G_i.

Dabei sind jedoch implizit Einschränkungen bzgl. der möglichen Zwangsbedingungen enthalten:.

Z.B. ist die Zwangsbedingungen, dass sich ein Teilchen auf einer bestimmten Oberfläche im 3-dim. bewegen soll, explizit möglich; gegeben sei eine Darstellung der Oberfläche

konkret z.B. für die Kugeloberfläche:

für

Dabei handelt es sich um eine sogenannte holonome Zwangsbedingung.

Offensichtlich nicht ohne weiteres möglich ist die Bedingung, dass sich das Teilchen innerhalb dieser Oberfläche im 3-dim. bewegen soll; d.h.

Dabei handelt es sich um eine sogenannte anholonome Zwangsbedingung.

Mit Beschränkung auf holonome Zwangsbedingungen gilt folgendes:

Gegeben sei eine Lagrangefunktion

Damit folgen die Bewegungsgleichungen

Nun erweitert man die Lagrangefunktion um die Zwangsbedingungen G_i, multipliziert mit den Lagrangemultikatoren s_i:

Die neuen Bewegungsgleichungen folgen aus

Zusätzlich betrachtet man die Lagrangemultiplikatioren als unabhängige Varaiablen, jedoch ohne eigene Dynamik = ohne Zeitableitung (es tritt kein Punkt auf)

Damit erhält man deren Euler-Lagrange-Gleichungen zu

D.h. die Euler-Lagrange-Gleichungen der Lagrangemultiplikatioren reproduzieren die Zwangsbedingungen.

Dieses erweiterte Systen von Euler-Lagrange-Gleichungen kodiert das Verhalten des Teilchens - zunächst beschrieben mittels L - erweitert um Zwangsbedingungen G_i.