Doppelter symmetrischer Potentialtopf

holdsworthy · Gast

Meine Frage:
Hallo,
ich beschäftige mich momentan mit einem doppelten Potentialtopf, der symmetrisch ist und in 5 Bereiche aufgeteilt werden kann. Ich habe das mal skizziert:

http://i.imgur.com/DgxMhoP.jpg

Es ist gegeben der Hamilton-Operator mit

Jeder Topf hat isoliert einen gebundenen Zustand mit

Der Hamilton Operator lässt sich in der Basis der beiden Zustände folgendermaßen darstellen:

Ich möchte nun die einzelnen Matrixelemente berechnen. Besonders das

. Dies sollte doch nichts anderes sein als:

Soweit ist mir das eigentlich noch ganz gut klar.
Die Probleme fangen jetzt an, wenn ich z.B.

berechnen möchte.
Das Integral muss doch nun in 5 Teilintegrale aufgeteilt werden, da ich ja 5 Regionen habe, in denen die Wellenfunktionen jeweils unterschiedlich definiert sind (hergeleitet aus den Lösungen der Schrödinger-Gleichung).

Meine Ideen:

Betrachte ich nur den linken (bzw einen) Potentialtopf, so würden meine Lösungen ja etwa so aussehen:

Die Definitionen von

und k spare ich mir mal.

Beide Töpfe sind identisch, also müsste ich für den jeweils anderen Potentialtopf die gleichen Wellenfunktionen als Lösung haben.
Wie kombiniere ich nun beide Einzeltöpfe zu einem Doppeltopf?
Nun liegt (wie in der Skizze ersichtlich) mein Nullpunkt ja genau in der Mitte von Bereich III, also betrachten wir doch mal beispielsweise genau diesen Bereich.

Hier überschneiden sich die beiden Exponential-Wellenfunktionen. Einmal die Abfallende des linken Brunnen und einmal die Aufsteigende des rechten Brunnen.
Muss ich die Exponentialfunktionen verschieben, da mein Nullpunkt in der Mitte liegt?

Ich dachte jetzt kurzzeitig an so etwas:

Ist dies korrekt? Kommt mir nicht ganz richtig vor.
Ich sehe da einfach irgendwas gerade nicht, was die Translation der Exponentialfunktion angeht.
Ich wüsste auch dann hier garnicht, wie ich das z.B. im Bereich I mache. Dort sollte ja die Ansteigende Exponentialfunktion der ersten Wellenfunktion deutlich spürbar werden, wenn man sich dem ersten Brunnen nähert, die abfallende Exponential-Wellenfunktion des zweiten Brunnens sollte da aber kaum mehr vorhanden sein.
Wie lässt sich das alles mathematisch so umsetzen, dass ich auf ein "schönes" Ergebnis für mein

komme? (und auch die anderen Matrixelemente).

Vielen Dank schonmal!