Impulsbelastung eines Materials

linker · Gast

Meine Frage:
In Actionfilmen kann es sein, dass folgendes Szenario vorkommt:
Eine Glasscheibe der Dicke

, der Breite

und der Länge

(fest eingespannt am Rand) wird mit von einen Stein der Masse

und der Geschwindigkeit

getroffen und zerbricht. Der Stein ist genau senkrecht zur Glasfläche aufgetroffen (Auftreffstelle liegt im Koordinatenursprung) und kann als Punktmasse angenommen werden. Fragestellung:
a) Mit welchen Gleichungen lässt sich dieser Vorgang modellieren?
b) Es treten offenbar lokal sehr hohe Spannungswerte in diesen Material auf. Begründen Sie, warum.
c) Wie lassen sich diese Gleichungen auflösen?
Es ist eine analytische (nicht numerische) Behandlung des Problems gefragt.

Meine Ideen:
a) Sei

die Dichte von Glas,

die Querkontraktionszahl. Dann gelten die Materialbeziehungen:

.
Weiterhin lauten die Grundgleichungen (mit Summationskonvention):

Alle Größen wurden über die Glasdicke als homogen angenommen, was bei dünnen Glasscheiben eine gute Näherung ist; deshalb 2-dimensionale Beschreibung.
Wie ich einrechnen kann, dass ein Bruch auch eintreten kann, weiß ich nicht so genau.
Wenn die Glasdicke am Rand fest eingespannt ist, muss am Rand gelten

für alle

. Die Anfangsbedingung lautet glaube ich

, wenn z die Koordinate senkrecht auf der Glasscheibenebene ist. Aber da bin ich mir nicht ganz sicher

b) die hohen Spannungswerte kommen offenbar daher, dass der Stein innerhalb einer kurzen Zeit abgebremst wird. Aber wie berechne ich die Abbremszeit aus diesen Grundgleichungen?

c) Kann ich es vielleicht mit einen Fourier-Ansatz (also eine Welle mit verschiedenen gemischten Frequenzen als Ansatz nehmen) versuchen?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.