Einfaches Beispiel zum Verstehen von Hamilton

mister · Anmeldungsdatum: 23.08.2016 Beiträge: 51

Hallo,

es geht um ein ebenes Pendel. Die Lagrange-Funktion lautet:

wobei l die Länge des Pendels ist und

die generalisierte Koordinate, also der Winkel zwischen Faden und Senkrechte.

1. Schritt: generalisierter Impuls

2. Schritt: obiges in L einsetzen

3. Schritt: Legendre-Transformation durchführen um auf die Hamiltonfunktion H zu kommen.

4. Schritt: Hamilton'sche Bewegungsgleichungen aufstellen

Die Summe der obigen Gleichungen ergibt dann die Bewegungsgleichung des ebenen Pendels.

Ein paar Fragen zu dem:
1. Schritt 3 ist mir nicht ganz klar. Wo sehe ich da die sog. "Legendre-Transformation"?

2. Muss ich nach Schritt 4 diese Bewegungsgleichungen immer so "hintrimmen", dass ich sie einfach gleichsetzen kann? Ist das das Ziel? Gleichsetzen der Hamilton-Gleichungen.

3. Werden diese Hamiltonschen Gleichungen auch kanonische Gleichungen genannt?

Ich habe mir das Mechanik-Buch von Fließbach zur Hilfe genommen, jedoch konnte ich keine Antworten auf meine Fragen finden. Ich bitte daher hier um Hilfe!

Gruß
mister

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

1. Ausgehend von der Funktion

wird eine Legendre-Transformation bezüglich der verallgemeinerten Geschwindigkeit

durchgeführt und zur neuen Variablen

übergegangen:

Das Vorzeichen ist dabei Konvention. Da in der Funktion H die

nicht vorkommen sollen, werden sie durch

und

ausgedrückt.

2. Die Hamiltonschen Gleichungen sind Differentialgleichungen für die Trajektorien im Phasenraum. Hier und in anderen Beispielen erhält man aus ihnen wie in Schritt 4 wieder die gewohnten Bewegungsgleichungen.

3. Ja, die Hamiltonschen Gleichungen werden auch kanonische Gleichungen genannt (ich hatte mit dem Wort kanonisch immer etwas Mühe, da - so kam es mir wenigstens vor - alles Mögliche als kanonisch bezeichnet wird).

mister · Anmeldungsdatum: 23.08.2016 Beiträge: 51

mister · Anmeldungsdatum: 23.08.2016 Beiträge: 51

Sorry, ich hatte Probleme mit Latex. Nun ist meine Frage oben ersichtlich.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Ja. Bei der Legendretransformation musst Du nach

noch die Geschwindigkeiten als Funktionen der Impulse einsetzen.