Amplitude des van der Pol Oszillators mittels Green's Theore

freddy90000 · Anmeldungsdatum: 21.11.2015 Beiträge: 7

Meine Frage:
Ich versuche eine Aufgabenstellung aus dem Buch "Nonlinear Dynamics and Chaos" von Strogatz zu bearbeiten.

Darin heißt es:
Here's another way to determine the radius of the nearly circular limit cycle of the van der pol oscillator

in the limit

. Assume that the limit cycle is a circle of unknown radius

about the origin, and invoke the normal form of Green's theorem (i.e., the 2-D divergence theorem):

where

is the cycle and

is the region enclosed. By substituting

and evaluating the integrals, show that

Meine Ideen:
1. Die gegebene Differentialgleichung in ein DGL-System überführen:

2. Einsetzen Kurvenintegral. Es gilt:

Das Kurvenintegral sollte somit vorerst so aussehen:

Mit der Parametrisierung

erhalte ich

und

Dieses Integral muss jedoch null sein, da

ein Grenzzyklus ist und somit stets

gelten muss. Also folgt a=2.

3. Einsetzen Flächenintegral. Hier habe ich vorerst

Das transformiere ich in Polarkoordinaten

und erhalte

Auch hier muss null herauskommen, also wieder

War's das jetzt? Ich habe das Gefühl, die Methode hinkt, da man erst einen Grenzzyklus voraussetzen muss, um dann eine Aussage darüber zu treffen, welche Amplitude er hat. Was ist, wenn es keinen Grenzzyklus gibt?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Nur ein Hinweis

F. K. Kneubühl (Lineare und nichtlineare Schwingungen und Wellen, B.G.Teubner 1995) beschäftigt sich ausführlich mit diesem Oszillator. Seine Argumentation zum Grenzzyklus (die ich nicht beurteilen kann): "Diese Gleichung ist eine Liénard-Gleichung [...] mit den Koeffizienten S(x) = epsilon (1 - x²) und D(x) = 1. Somit erfüllt sie die Voraussetzungen [...] des Theorems von Levinson und Smith und besitzt einen Grenzzyklus für alle epsilon > 0." (Die Verweise gehen auf nichtlineare Liénard-Oszillatoren im Buch.)

Bauchmäßig scheint es mir bei dieser amplitudenabhängigen "Dämpfung" auch plausibel: Kleine Amplitude - Verstärkung, große: Dämpfung.